（毕节专版）2019年中考数学复习 专题7 圆的综合（精讲）试题

1专题七圆的综合毕节中考备考攻略纵观近5年毕节中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角形模型,其中2014年第26题属于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019年第26题将继续考查.解决圆的综合问题的几个要点：(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角；(2)已知直径,找直径所对的圆周角；(3)已知切线或证明相切关系,连接过切点的半径；(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果；(5)圆心是直径的中点,考虑中位线；(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理；(7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.中考重难点突破垂径定理模型例1(2018·郴州中考)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB＝AD,AE是⊙O的弦,∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为4,求AE的长.【解析】(1)先得出∠ABC＝30°,进而求出∠OAB＝30°,∠BAD＝120°,结论得证；(2)先求出∠AOC＝60°,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果.【答案】(1)证明：连接OA.∵∠AEC＝30°,∴∠ABC＝30°.∵AB＝AD,∴∠D＝∠ABC＝30°.根据三角形的内角和定理得,∠BAD＝120°.∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠ABC＝30°,∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°,∴OA⊥AD.∵点A在⊙O上,∴直线AD是⊙O的切线；2(2)解：∵∠AEC＝30°,∴∠AOC＝60°.∵BC⊥AE于点M,∴AE＝2AM,∠OMA＝90°.在Rt△AOM中,AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝23,∴AE＝2AM＝43.等腰三角形模型例2(2018·永州中考)如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,BC︵＝CE︵,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF＝BF；(2)若cos∠ABE＝45,在AB的延长线上取一点M,使BM＝4,⊙O的半径为6.求证：直线CM是⊙O的切线.【解析】(1)延长CD交⊙O于点G,如图,利用垂径定理得到BC︵＝BG︵,则可证明CE︵＝BG︵,然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB,从而得到CF＝BF；(2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OC⊥BE,再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH＝245,OH＝185,接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°,然后根据切线的判定定理得到结论.【答案】证明：(1)延长CD交⊙O于点G.∵CD⊥AB,∴BC︵＝BG︵.∵BC︵＝CE︵,∴CE︵＝BG︵,∴∠CBE＝∠GCB,∴CF＝BF；(2)连接OC交BE于点H,如图.∵BC︵＝CE︵,∴OC⊥BE.在Rt△OBH中,cos∠OBH＝BHOB＝45,∴BH＝45×6＝245,∴OH＝62－2452＝185.3∵OHOC＝1856＝35,OBOM＝66＋4＝35,∴OHOC＝OBOM.又∵∠HOB＝∠COM,∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM＝∠OHB＝90°,∴OC⊥CM,∴直线CM是⊙O的切线.1.(2018·宿迁中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝60°,AB＝10,求线段CF的长.(1)证明：连接OC.∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD＝CD,∴PA＝PC.在△OAP和△OCP中,OA＝OC，PA＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP＝∠OAP.∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°,即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB是直径,∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝60°,∴∠CAB＝30°,∴∠COF＝60°.∵PC是⊙O的切线,AB＝10,∴OC⊥PF,OC＝OB＝12AB＝5,∴CF＝OC·tan∠COF＝53.2.(2018·白银中考)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°.4(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹)(2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果.解：(1)如图；(2)相切.过点O作OD⊥AC于点D.∵CO平分∠ACB,∴OB＝OD,即圆心O到直线AC的距离d＝r,∴⊙O与直线AC相切.3.(2018·玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan∠B＝12,⊙O的半径是4,求EC的长.(1)证明：∵AB是直径,∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°,∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB是直径,∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB.设EC＝EB＝x.在Rt△ABC中,tan∠B＝ACAB＝12,AB＝8,∴AC＝4.在Rt△AEC中,EC2＝AE2＋AC2,∴x2＝(8－x)2＋42,解得x＝5,∴EC＝5.直角三角形模型例3(2018·聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.5(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5,BE＝4,求BC,AD的长.【解析】(1)连接OE,由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB,又由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE,据此得∠OEB＝∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证；(2)证△BDE∽△BEC得BDBE＝BEBC,据此可求得BC的长度,再证△AOE∽△ABC得AOAB＝OEBC,据此可得AD的长.【答案】(1)证明：连接OE.∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB.∵BE平分∠ABC,∴∠OBE＝∠CBE.∴∠OEB＝∠CBE,∴OE∥BC.又∵∠C＝90°,∴∠AEO＝90°,即OE⊥AC.∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵ED⊥BE,∴∠BED＝∠C＝90°.又∵∠DBE＝∠EBC,∴△BDE∽△BEC,∴BDBE＝BEBC,即54＝4BC,∴BC＝165.∵∠AEO＝∠C＝90°,∠A＝∠A,∴△AOE∽△ABC,∴AOAB＝OEBC,即AD＋2.5AD＋5＝2.5165,∴AD＝457.4.(2018·柳州中考)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证：△DAC∽△DBA；6(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证：CE＝12AD；(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD＝6,AB＝3,求CG的长.(1)证明：∵AB是⊙O直径,∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵AD是⊙O的切线,∴∠BAD＝90°,∴∠ACD＝∠BAD＝90°.∵∠D＝∠D,∴△DAC∽△DBA；(2)证明：∵EA,EC是⊙O的切线,∴AE＝CE(切线长定理).∴∠DAC＝∠ECA.∵∠ACD＝90°,∴∠ACE＋∠DCE＝90°,∠DAC＋∠D＝90°.∴∠D＝∠DCE.∴DE＝CE.∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE.∴CE＝12AD；(3)解：在Rt△ABD中,AD＝6,AB＝3,∴tan∠ABD＝ADAB＝2.过点G作GH⊥BD于点H,则tan∠ABD＝GHBH＝2,∴GH＝2BH.∵点F是直径AB下方半圆的中点,∴∠BCF＝45°.∴∠CGH＝∠CHG－∠BCF＝45°,∴CH＝GH＝2BH,∴BC＝BH＋CH＝3BH.在Rt△ABC中,tan∠ABC＝ACBC＝2,∴AC＝2BC.根据勾股定理,得AC2＋BC2＝AB2,∴4BC2＋BC2＝9,∴BC＝355.7∴BH＝55,∴GH＝2BH＝255.在Rt△CHG中,∠BCF＝45°,∴CG＝2GH＝2105.毕节中考专题过关1.(2018·昆明中考)如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4,AF＝2,求⊙O的半径.(1)证明：连接OC,如图.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC＝∠CAD.∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠CAD＝∠OCA,∴OC∥AD.∵ED切⊙O于点C,∴OC⊥ED,∴AD⊥ED；(2)解：设OC交BF于点H,如图.∵AB为直径,∴∠AFB＝90°,易得四边形CDFH为矩形,∴FH＝CD＝4,∠CHF＝90°,∴OH⊥BF,∴BH＝FH＝4,∴BF＝8.在Rt△ABF中,AB＝AF2＋BF2＝22＋82＝217,∴⊙O的半径为17.2.(2018·北部湾中考)如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG＝∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为点F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证：PG与⊙O相切；(2)若EFAC＝58,求BEOC的值；(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD＝OD,求OE的长.8(1)证明：连接OB,则OB＝OD,∴∠BDC＝∠DBO.∵∠BDC＝∠BAC＝∠CBG,∴∠CBG＝∠DBO.∵CD是⊙O的直径,∴∠DBO＋∠OBC＝90°,∴∠CBG＋∠OBC＝90°,∴∠OBG＝90°,∴PG与⊙O相切；(2)解：过点O作OM⊥AC于点M,连接OA,则∠AOM＝∠COM＝12∠AOC.又∵∠BFE＝∠OMA＝90°,∠EBF＝12∠AOC＝∠AOM,∴△BEF∽△OAM,∴EFAM＝BEOA.∵AM＝12AC,OA＝OC,∴EF12AC＝BEOC.又∵EFAC＝58,∴BEOC＝2×EFAC＝2×58＝54；(3)解：∵PD＝OD,∠PBO＝90°,∴BD＝OD＝8.在Rt△DBC中,BC＝DC2－BD2＝83,cos∠BDO＝BDCD＝816＝12,∴∠BDO＝60°,∴∠OCB＝30°,∴EFEC＝12,FCEF＝3.设EF＝x,则EC＝2x,FC＝3x,∴BF＝83－3x.在Rt△BEF中,BE2＝EF2＋BF2,BE＝54OC＝10.∴100＝x2＋(83－3x)2,解得x＝6±13.∵6＋13＞8(舍去),∴x＝6－13,∴EC＝12－213.∴OE＝8－(12－213)＝213－4.3.(2018·襄阳中考)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB＝CE.9(1)求证：DA＝DE；(2)若AB＝6,CD＝43,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接OE,OC,BE.∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB.∵CB＝CE,∴∠CBE＝∠CEB,∴∠OBC＝∠OEC.∵BC为⊙O的切线,∴∠OEC＝∠OBC＝90°.∵OE为半径,∴CD为⊙O的切线.∵AD切⊙O于点A,∴DA＝DE；(2)解：过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,∴AD＝BF,DF＝AB＝6,∴DC＝BC＋AD＝43.∵FC＝DC2－DF2＝23,∴BC－AD＝23,∴BC＝33.在Rt△OBC中,tan∠BOC＝BCBO＝3,∴∠BOC＝60°.在△OEC与△OBC中,OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，∴△OEC≌△OBC(SSS),∴∠BOE＝2∠BOC＝120°.∴S阴影＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×12BC·OB－120×π×OB2360＝9