搜索
1第25课时点、直线与圆的位置关系毕节中考考情及预测近五年中考考情2019年中考预测年份考查点题型题号分值直线与圆的切线主要考查切线的判定,为每年的必考考点,以解答题的形式呈现.预计2019年将继续考查切线的判定,也有可能结合切线的性质进行考查.2018切线的判定解答题26(1)82017切线的判定解答题26(1)82016切线的判定解答题26(1)82015切线的判定解答题26(1)82014切线的判定解答题26(2)8毕节中考真题试做切线的判定与性质1.(2015·毕节中考)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于点F,AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5,EF＝3,求DF的长.(1)证明：连接OA,OD,如图.∵D为BE的下半圆弧的中点,∴OD⊥BE,∴∠D＋∠DFO＝90°.∵AC＝FC,∴∠CAF＝∠CFA.∵∠CFA＝∠DFO,∴∠CAF＝∠DFO.∵OA＝OD,∴∠OAD＝∠ODF,∴∠OAD＋∠CAF＝90°,即∠OAC＝90°,∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵R＝5,EF＝3,∴OF＝2.在Rt△ODF中,OD＝5,OF＝2,∴DF＝52＋22＝29.2.(2016·毕节中考)如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD＝CB,以BC为直径作⊙O,交BD于点E,连接CE,过点D作DF⊥AB于点F,∠BCD＝2∠ABD.2(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°,DF＝3,求⊙O的直径BC的长.(1)证明：∵CD＝CB,∴△BCD为等腰三角形.∵BC是⊙O的直径,∴∠CEB＝90°,即CE⊥BD,∴∠CBD＋∠BCE＝90°,∠BCE＝∠DCE,即∠BCD＝2∠BCE.∵∠BCD＝2∠ABD,∴∠ABD＝∠BCE,∴∠CBD＋∠ABD＝∠CBD＋∠BCE＝90°,∴CB⊥AB.∵CB为⊙O的直径,∴AB是⊙O的切线；(2)解：在Rt△AFD中,∠A＝60°,DF＝3,∴AD＝DFsinA＝3sin60°＝2.∵DF⊥AB,CB⊥AB,∴DF∥BC,∴△ADF∽△ACB,∴DFCB＝ADAC.设BC＝x,则3x＝2x＋2,解得x＝43＋6.∴直径BC的长为43＋6.毕节中考考点梳理点与圆的位置关系(设r为圆的半径,d为点到圆心的距离)位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外数量(d与r)的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__直线与圆的位置关系(设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离)位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,23公共点的名称,无,切点,交点数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__切线的性质与判定1.判定切线的方法有三种(1)直线和圆有__唯一__的公共点时,这条直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；(3)过半径外端且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的五个性质(1)切线与圆只有__一个__公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的__半径__；(3)圆的切线垂直于过切点的__半径__；(4)过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；(5)过切点垂直于切线的直线必过__圆心__.3.切线判定中常作的辅助线(1)能确定直线和圆有公共点,作__半径__,证__垂直__；(2)不能确定直线和圆是否有公共点,作__垂直__,证__半径__.切线长定理4.过圆外一点画圆的切线,这点和__切点__之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长__相等__,这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__.三角形的外心和内心5.三角形的外心三角形外接圆的圆心,是三角形__三边垂直平分线__的交点,到三角形三个顶点的距离__相等__.6.三角形的内心三角形内切圆的圆心,是三角形__三条角平分线__的交点,到三角形三边的距离__相等__.方法点拨(1)判断直线与圆相切时：①直线与圆的公共点已知时,连半径证垂直；②直线与圆的公共点未知时,过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径.(2)利用切线的性质解决问题,通常连过切点的半径,构造直角三角形来解决.(3)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a,b是Rt△ABC的两条直角边,c为斜边,则①直角三角形的外接圆半径R＝c2；②直角三角形的内切圆半径r＝a＋b－c2.1.已知⊙O的半径为5,若PO＝4,则点P与⊙O的位置关系是(A)A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法判断42.(2018·眉山中考)如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P＝36°,则∠B等于(A)A.27°B.32°C.36°D.54°3.如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的⊙O与边AB,CD分别交于点E,F.关于下列说法：①AC与BD的交点是⊙O的圆心；②AF与DE的交点是⊙O的圆心；③BC与⊙O相切.其中正确的说法的个数是(C)A.0B.1C.2D.34.(2018·南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB＝5,BC＝4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切,切点为E,边CD′与⊙O相交于点F,则CF的长为__4__.5.(2018·毕节中考)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG＝2∠C.(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若tanC＝12,AC＝8,求⊙O的半径.(1)证明：连接OE,则OE＝OC,∴∠EOG＝2∠C.∵∠ABG＝2∠C,∴∠EOG＝∠ABG,5∴AB∥EO.∵EF⊥AB,∴EF⊥OE.又∵OE是⊙O的半径,∴EG是⊙O的切线；(2)解：连接BE.∵AB∥EO,点O为CB的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴点E为AC的中点,∴CE＝12AC＝4.在Rt△BCE中,tanC＝BECE＝12,∴BE＝2,∴BC＝BE2＋CE2＝25.∴⊙O的半径为5.中考典题精讲精练点与圆的位置关系例1如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝4,以点C为圆心,2为半径作⊙C,则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定【解析】点与圆的位置关系需根据点到圆心距离d与半径r的关系判定：d＞r,点在圆外；d＝r,点在圆上；d＜r,点在圆内.连接OC,由题意知OC为Rt△ABC斜边的中线,可得OC的长.比较OC与⊙C的半径的大小,当OC＞2时,点在圆外；当OC＝2时,点在圆上；当OC2时,点在圆内.直线与圆的位置关系例2(2017·毕节中考)如图,已知⊙O的直径CD＝6,A,B为圆周上两点,且四边形OABC是平行四边形,过点A作直线EF∥BD,分别交CD,CB的延长线于点E,F,AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求AE的长.【解析】(1)已知OA为⊙O的半径,由CD为⊙O的直径、平行四边形的性质、EF∥BD可得OA⊥EF.故EF是⊙O6的切线；(2)连接OB.先证△OBC为等边三角形,再利用平行线的性质得∠AOE＝∠C＝60°.在Rt△OAE中,OA＝12CD＝6,利用正切的定义可求出AE的长.【答案】(1)证明：∵CD为⊙O的直径,∴∠DBC＝90°,∴BD⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形,∴AO∥BC,∴BD⊥OA.∵EF∥BD,∴OA⊥EF,∴EF是⊙O的切线；(2)解：连接OB,如图.∵四边形OABC是平行四边形,∴OA＝BC,OA∥BC.∵OB＝OC＝OA,∴OB＝OC＝BC,∴△OBC为等边三角形,∴∠C＝60°.∴∠AOE＝∠C＝60°.在Rt△OAE中,tan∠AOE＝AEOA,∴AE＝3tan60°＝33.1.圆心在坐标原点,其半径为7的圆,则下列各点在圆外的是(D)A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)2.已知⊙O和三点P,Q,R,⊙O的半径为3,OP＝2,OQ＝3,OR＝4,经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O相交,这个点是(A)A.PB.QC.RD.P或Q3.(2014·毕节中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.(1)求证：∠A＝∠BCD；(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切？并说明理由.(1)证明：∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC＝90°,∴∠A＋∠DCA＝90°.7∵∠ACB＝90°,∴∠DCB＋∠DCA＝90°.∴∠A＝∠DCB；(2)解：当MC＝MD(或点M为BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.理由如下：连接DO.∵DO＝CO,∴∠1＝∠2.∵MD＝MC,∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°,∴∠1＋∠3＝90°,∴直线DM与⊙O相切.故当MC＝MD(或点M为BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.