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1第7课时一元二次方程毕节中考考情及预测近五年中考考情2019年中考预测年份考查点题型题号分值预计将考查一元二次方程的应用，以解答题的形式呈现.2018一元二次方程根的判别式填空题185一元二次方程的解解答题2282017未单独考查2016一元二次方程的应用解答题23102015一元二次方程根的判别式选择题123一元二次方程的解填空题175一元二次方程的应用填空题2052014一元二次方程的解解答题228一元二次方程的应用解答题25（2）3毕节中考真题试做一元二次方程及其解1.（2018·毕节中考）先化简，再求值：2aa2－4－1a－2÷aa2＋4a＋4，其中a是方程a2＋a－6＝0的解.解：2aa2－4－1a－2÷aa2＋4a＋4＝2a－（a＋2）a2－4·a2＋4a＋4a＝a－2（a＋2）（a－2）·（a＋2）2a＝a＋2a.∵a是方程a2＋a－6＝0的解，∴a＝2或a＝－3.又∵当a＝2时，原分式无意义，∴a＝－3.当a＝－3时，原式＝－3＋2－3＝13.一元二次方程根的判别式2.（2015·毕节中考）若关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是（D）A.k≥54B.k＞54C.k＜54D.k≤54一元二次方程根的应用23.（2015·毕节中考）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是20L.4.（2016·毕节中考）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.解：（1）设2014年以来该县投入教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得6000（1＋x）2＝8640.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%；（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且年平均增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为8640×（1＋20%）＝10368（万元）.答：预算2017年该县投入教育经费10368万元.毕节中考考点梳理一元二次方程的概念1.只含有一个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.方法点拨判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数.一元二次方程的解法直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.公式法求根公式为x＝－b±b2－4ac2a，适用于所有的一元二次方程.因式分解法一般步骤：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.一元二次方程根的判别式2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定，我们将b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式.33.一元二次方程根的判别式与根的个数的关系（1）b2－4ac0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根.（3）b2－4ac0⇔方程没有实数根；方法点拨（1）一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；（2）当a，c异号时，Δ0.一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题的步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）得结论.5.一元二次方程应用问题常见的等量关系（1）增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；（2）利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；（3）利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价.1.关于x的方程（a－1）x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则（C）A.a≠±1B.a＝1C.a＝－1D.a＝±12.（2018·盐城中考）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为（B）A.－2B.2C.－4D.43.（2018·白银中考）已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（C）A.k≤－4B.k＜－4C.k≤4D.k＜44.（2018·眉山中考）先化简，再求值：x2－1x2＋x－x2－2xx2＋x÷2x2－xx2＋2x＋1，其中x满足x2－2x－2＝0.解：原式＝[x2－1x（x＋1）－x2－2xx（x＋1）]÷x（2x－1）（x＋1）2＝2x－1x（x＋1）·（x＋1）2x（2x－1）＝x＋1x2.∵x2－2x－2＝0，∴x2＝2x＋2＝2（x＋1），∴原式＝x＋12（x＋1）＝12.5.（2018·安顺中考）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？4（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意，得1280（1＋x）2＝1280＋1600，解得x＝0.5＝50%或x＝－2.5（舍去）.答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.∵8×1000×400＝32000005000000，∴a1000.令3200000＋（a－1000）×5×400≥5000000，则a≥1900.答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.中考典题精讲精练一元二次方程及其解例1若方程（n－1）x2＋nx－1＝0是关于x的一元二次方程，则（C）A.n≠1B.n≥0C.n≥0且n≠1D.n为任意实数【解析】一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数，且a≠0），当n－1≠0，n≥0，即n≥0且n≠1时，（n－1）x2＋nx－1＝0是关于x的一元二次方程.一元二次方程根的判别式例2（2018·毕节中考）已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m54Ｗ.【解析】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.由一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝b2－4ac＝（－1）2－4（m－1）＞0，解不等式即可得出m的取值范围.解一元二次方程例3用适当的方法解下列方程：（1）（x－1）2＝9；（2）3x2－6x＝0；（3）x2＋2x＝5；（4）4x2－8x＋1＝0（用公式法）.【解析】解一元二次方程，公式法是解一元次方程常用方法，因式法分解法是解一元二次方程的简便方法，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键.【答案】解：（1）直接开平方，得x－1＝±3，即x＝1±3，5∴x1＝4，x2＝－2；（2）提公因式，得3x（x－2）＝0，∴x＝0或x－2＝0，∴x1＝0，x2＝2；（3）原方程可变形为（x＋1）2＝6，开平方，得x＋1＝±6，∴x＝－1±6；（4）∵a＝4，b＝－8，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝（－8）2－4×4×1＝48＞0，∴x＝8±482×4＝2±32.一元二次方程的应用例4某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件.若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，该商场衬衫的总盈利为元；（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代数式进行表示）；（3）请列出方程，求出x的值.【解析】（1）利用销量×每件的利润，计算出结果即可；（2）每件的盈利＝原利润－降价；销量＝原销量＋多售的数量；（3）商场平均每天盈利数＝每件的盈利×售出件数；每件的盈利＝原来每件的盈利－降价数.【答案】解：（1）20×45＝900（元）.故应填：900；（2）降价后，该商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45－x）元，平均每天可售出（20＋4x）件.故应填：（45－x），（20＋4x）；（3）由题意，得（45－x）（20＋4x）＝2100，解得x1＝10，x2＝30.由于要求尽快减少库存，故x的值应为30.1.下列方程为一元二次方程的是（C）A.x2－3＝x（x＋4）B.x2－1x＝3C.x2－10x＝5D.4x＋6xy＝332.已知关于x的方程（m－1）xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为（B）A.1B.－1C.±1D.不能确定3.关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况为（B）6A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.已知关于x的方程kx2－x－2k＝0（k≠0）.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值.（1）证明：在一元二次方程kx2－x－2k＝0（k≠0）中，Δ＝（－1）2－4k×－2k＝9＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的根为x＝1±92k＝1±32k，∴x1＝2k，x2＝－1k.∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k＝－1或k＝1.5.用适当方法解下列方程：（1）（3x－1）2＝1；（2）2（x＋1）2＝x2－1；（3）（2x－1）2＋2（2x－1）＝3；（4）（y＋3）（1－3y）＝1＋2y2.解：（1）直接开平方，得3x－1＝±1，∴3x－1＝1或3x－1＝－1，∴x1＝23，x2＝0；（2）原方程可变形为2（x＋1）2－（x＋1）（x－1）＝0，（x＋1）（2x＋2－x＋1）＝0，即（x＋1）（x＋3）＝0，∴x＋1＝0或x＋3＝0，∴x1＝－1，x2＝－3；（3）原方程可变形为（2x－1）2＋2（2x－1）＋1＝4，（2x－1＋1）2＝4，4x2＝4，即x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1；（4）整理，得5y2＋8y－2＝0.∵a＝5，b＝8，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝82－4×5×（－2）＝104＞0，∴y＝－8±1042×5＝－4±265.76.（2018·盐城中考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？解：（1）3×2＋20＝26（件）.故应填：26；（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20＋2x）件，每件盈利为（40－x）元，且40－x≥25，即x≤15.根据题意，得（40－x）（20＋2x）＝