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1小专题（三）与圆的切线有关的性质与判定证明圆的切线常用的两种方法：（1）已知直线与圆的交点，则该点即为切点，可连接切点与圆心，证明与已知直线垂直，简记为：连半径，证垂直．（2）未知直线与圆的交点，即切点未知，则可以过圆心作与已知直线垂直的线段，证明垂线段等于圆的半径，简记为：作垂直，证半径．1．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD＝OA，OC＝22.求证：CD是⊙O的切线．证明：连接OD.由题意，CD＝OD＝OA＝12AB＝2，OC＝22，∴OD2＋CD2＝22＋22＝（22）2＝OC2.∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°.∴OD⊥CD.又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．2．如图，大圆⊙O的半径为8cm，弦AB＝83cm，以点O为圆心，4cm为半径作小圆．求证：直线AB与小圆相切．证明：过点O作OC⊥AB于点C.在△AOB中，AO＝BO，∴AC＝12AB＝12×83＝43（cm）．∴OC＝OA2－AC2＝82－（43）2＝4（cm）．2又∵小圆的半径为4cm，∴OC的长等于小圆的半径．∴直线AB与小圆相切．3．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA＝∠C.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP＝8，∠C＝60°，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠OBC＋∠OBA＝90°.∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB.∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．（2）∵∠C＝60°，OC＝OB，∴△OBC为等边三角形，即∠OBC＝60°.∵OP∥BC，∴∠POB＝∠OBC＝60°.∵∠OBP＝90°，∴∠P＝30°.∴OB＝12OP＝4.4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O.（1）求证：AC与⊙O相切于D点；（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．3解：（1）证明：连接OD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠DBC.∴∠ODB＝∠DBC.∴OD∥BC.而∠C＝90°，∴OD⊥AD.∵OD是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切于D点．（2）设⊙O半径为r.∵OD⊥AD，∴在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2.又∵AD＝15，AE＝9，∴（r＋9）2＝152＋r2.解得r＝8，即⊙O的半径为8.5．（2018·安顺）如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC＝23，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．解：（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E，连接OD，OA.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.∵OE⊥AB，∴OD＝OE.∴OE为半圆O的半径．4∴AB是半圆O所在的圆的切线．（2）∵AB＝AC，O是BC的中点，∴AO⊥BC.∵cos∠ABC＝23，AB＝12，∴OB＝AB·cos∠ABC＝12×23＝8.由勾股定理，得AO＝AB2－OB2＝45.∵S△AOB＝12AB·OE＝12OB·AO，∴OE＝OB·OAAB＝853.∴半圆O所在圆的半径是853.6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠CDA＝23，求CD的长．解：（1）证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵∠CDA＝∠ABD，∴tan∠CDA＝tan∠ABD＝23.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝ADBD＝23，∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD.∴△CAD∽△CDB.5∴CDCB＝ADDB＝23.∴CD＝23×6＝4.7．（2017·铜仁）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE.（1）若ADAB＝13，求sinC；（2）求证：DE是⊙O的切线．解：（1）∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°.∴∠C＝∠ABD.∵ADAB＝13，∴sin∠ABD＝13.∴sinC＝13.（2）证明：连接OD.∵E为BC的中点，∠BDC＝90°，∴DE＝BE＝CE.∴∠EDB＝∠EBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90°.∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6