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1小专题（六）圆中常见的最值问题类型1利用对称求最值1．如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是AN︵的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，则AP＋BP的最小值32．类型2利用垂线段最短求最值2．如图，已知一次函数y＝－x＋22的图象与坐标轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为3．提示：当OP⊥AB时，PM取得最小值．类型3利用两点之间线段最短求最值3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点．若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为6．提示：连接PO，由题意可知PO＝12AB，所以AB最小转化为PO最小，点O，P，M三点共线时PO取得最小值．类型4利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，已知⊙O的半径为4，劣弧AB︵的度数为120°，Q2是⊙O上一动点，则PQ长的最大值是（B）A．123B．12C．83D．43第4题图第5题图5．（2018·安徽四模）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为（B）A．6B．9C．10D．12提示：EF为△ABC的中位线，所以EF＝12AB，所以当GH最大时，GH－EF最大，即GE＋FH取得最大值．6．如图，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是42．第6题图第7题图7．（2018·内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为12．拓展类型隐圆问题8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（B）A.32B．210－2C．213－23D．4提示：点E在以Rt△ABE斜边为直径的圆上．4