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124.6正多边形与圆第1课时正多边形与圆01基础题知识点1正多边形的概念1．下列叙述正确的是（B）A．各边相等的多边形是正多边形B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形C．各角相等的多边形是正多边形D．轴对称图形是正多边形2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（D）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC︵＝BC︵D．∠BAC＝30°第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD︵上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是45度．6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．7．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是正五边形．证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EA︵.2∴ABD︵＝BCE︵＝CDA︵＝DEB︵＝EAC︵.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.∴五边形ABCDE是正五边形．8．如图，AD，AE是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）解：本题答案不唯一，如：①△ADE是直角三角形；②AD是正六边形外接圆的直径；③AD∥BC等．知识点2等分圆周画正多边形9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB的度数近似于（C）A．11°B．17°C．21°D．25°10．画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．解：画法：（1）以O为圆心，OA＝2cm为半径画圆；（2）以O点为顶点，以OA为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B，C，D，E；（3）分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则五边形ABCDE就是所要画的正五边形（如图1）；（4）依次连接AC，AD，BD，BE，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．302中档题11．如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，则∠ACB等于（C）A．60°B．45°C．30°D．22.5°12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（C）A．S1＝S2＝S3B．S1S2S3C．S1S2S3D．S2S3S113．如图，已知⊙O内接等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是正五边形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BD，CE平分∠ABC，∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°.∴AE︵＝BE︵＝BC︵＝CD︵＝DA︵.∴AE＝BE＝BC＝CD＝AD，∠AEB＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE.∴五边形AEBCD是正五边形．414．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．解：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS）．（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN.∵∠APN＝∠ABP＋∠BAM，∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.∵∠ABC＝（5－2）×180°5＝3×180°5＝108°.∴∠APN＝108°.03链接中考15．如图1，2，3，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数；（写出解题过程）（2）写出图2中∠APN的度数和图3中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系．（直接写答案）5解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP，又∵点M，N以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴BM︵＝CN︵.∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°.（2）图2中∠APN的度数为90°；图3中∠APN的度数为108°.（3）∠APN＝（n－2）·180°n.6第2课时正多边形的性质01基础题知识点1正多边形的性质与计算1．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（B）A.3B．2C．3D．232．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（A）A．R2－r2＝a2B．a＝2Rsin36°C．a＝2rtan36°D．r＝Rcos36°第2题图第4题图3.（2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A）A.2B．22C.22D．14．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，则图中平行四边形的个数有（C）A．2个B．4个C．6个D．8个5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C）A．33B．36C.323D.3266．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°．第6题图第7题图7．如图，⊙O的内接正三角形ABC的边心距OD为2cm，则⊙O的半径为4cm.8．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为2∶1．9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为2∶1．710．（教材P51例题变式）求边长为20cm的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．解：如图，易知∠AOB＝360°6＝60°，∴∠DOB＝30°.又∵边长为20cm，∴DB＝10cm.在Rt△OBD中，可求得OD＝103cm，OB＝20cm.∴S正六边形＝6S△OAB＝6×12×20×103＝6003（cm2）．正六边形内切圆周长为2π·OD＝203πcm.正六边形外接圆面积为πOB2＝400πcm2.知识点2正多边形的对称性11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C）A．216°B．144°C．120°D．72°12．正二十边形的对称轴有20条．02中档题13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A）A.22B.32C.2D.314．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（C）8A．23B．4C.13D.1115．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S阴影S空白＝（C）A．3B．4C．5D．6第15题图第16题图16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．17．如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为⊙O的内接正六边形和正十二边形的边长．证明：连接OM.∵MN垂直平分OB，∴MN⊥OB，OE＝12OB＝12OM，∴∠EMO＝30°.∴∠MOB＝60°.∴∠MOC＝30°.∵∠MOB＝360°6＝60°，∠MOC＝360°12＝30°，∴MB，MC分别是⊙O内接正六边形和正十二边形的边长．918．如图，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于点M.（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设ME2＝BE·BM，若AB＝4，求BE的长．解：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠D＝∠DCB＝108°，∠ACB＝36°，∴∠DCA＝72°.∴∠D＋∠DCA＝180°.∴DE∥AC.同理可证DC∥BE.∴四边形DEMC为平行四边形．又∵DE＝DC，∴四边形CDEM是菱形．（2）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AEB＝36°，∠EAM＝72°.同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°.∴△ABE∽△MAB.∴ABMA＝BEAB.∴AB2＝BE·BM.∵ME2＝BE·BM，∴ME＝AB＝4，BM＝BE－4.∴BE（BE－4）＝16.解得BE＝2＋25或2－25（舍去），即BE的长为2＋25.03链接中考19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．10（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案）解：（1）连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M.∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，∴OA＝OB.∵四边形ABCD为正方形，∴OM＝12AB.∴S△ABO＝14S正方形ABCD.∵∠AOB＝90°，∠AOF＋∠A′OB＝∠A′OB＋∠BOE＝90°，∴∠AOF＝∠BOE.又∵∠OAF＝∠OBE＝45°，∴△AOF≌△BOE（ASA）．∴S△AOF＝S△BOE.∴S重叠＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△AOF＝S△ABO＝14S正方形ABCD.∴S阴影＝34S正方形ABCD.∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.（2）1∶2.11