（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 素养提升练（二）文（含解析）

1素养提升练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·山西吕梁二模)集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x∈Z|2x－3＜0}，则A∩B的元素个数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析A＝{x|－2≤x≤3}，B＝xx为小于32的整数，所以A∩B＝{－2，－1,0,1}．故选B.2．(2019·大庆三模)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝()A．iB．－iC．1D．－1答案B解析∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1＋i，∴z2＝－1＋i，∴z1z2＝1＋i－1＋i＝＋－1－－1＋－1－＝－2i2＝－i.故选B.3．(2019·佛山二模)如图是1990～2017年我国劳动年龄(15～64岁)人口数量及其占总人口比重情况，则以下选项错误的是()A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%答案B2解析从题图中可以看出，2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大，A正确；2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，B错误；从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C正确；我国劳动年龄人口占总人口比重最大的为2011年，约为74%，最小的为1992年，约为67%，故极差超过6%，D正确．4．(2019·咸阳一模)在等比数列{an}中，a2·a6＝2π3，则sina24－π3＝()A．－12B.12C.32D．－32答案C解析在等比数列{an}中，a2·a6＝2π3，可得a24＝a2·a6＝2π3，则sina24－π3＝sinπ3＝32，故选C.5．(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2B．3C．5D．6答案C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当y＝4x＋z过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.6．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()3A．1B．2C．3D．4答案B解析k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.7．(2019·张掖二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是()A．BE⊥ACB．DE⊥AEC．CE⊥平面ABED．BD⊥平面ACE答案C解析若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC＝A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BE⊥BC，矛盾，故BE⊥AC不成立，故A不正确；因为DE2＋AE2＝22＋CE2＋22＋BE2＝8＋AD2，因此∠AED≠90°，即DE与AE不垂直，故B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE，故C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC＝D，所以CE⊥平面ABCD，4所以CE⊥BC，与∠CEB＝90°矛盾，故D不正确．故选C.8．(2019·山东师大附中二模)已知函数f(x)＝2x－lnx－1，则y＝f(x)的图象大致为()答案A解析令g(x)＝x－lnx－1，则g′(x)＝1－1x＝x－1x，由g′(x)＞0得x＞1，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增；由g′(x)＜0得0＜x＜1，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以当x＝1时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(1)＝0，于是对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B，D；因函数g(x)在(0,1)上单调递减，则函数f(x)在(0,1)上单调递增，故排除C.故选A.9．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2答案C解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin12ωx，且g(x)最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，所以A＝2.所以f(x)＝2sin2x，所以f3π8＝2.故选C.10．(2019·咸宁模拟)已知F1，F2为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝()A.45B.35C.5564D．－2340答案D5解析由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F1F2|＝10，∴利用余弦定理可得cos∠F1F2P＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2|·|F1F2|＝－2340.故选D.11．(2019·山西晋城一模)在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形，其中AD＝2AB＝2BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，若E，F分别是线段SA与线段SC的中点，则直线BE和DF所成角的余弦值为()A.18B.14C.378D.154答案A解析作出图形如图所示，取SD的中点G，连接EG，CG，且CG交FD于H；因为E，G分别是线段SA，SD的中点，故EG綊12AD，且BC綊12AD，所以EG綊BC，故EB綊GC，因此直线BE，DF所成的角即为GC，DF所成的角；不妨设BC＝1，则SC＝SD＝2，DC＝2，易知cos∠SDC＝24，在△CDG中，CG2＝CD2＋GD2－2CD·GD·cos∠SDC＝2，故CG＝2，故GH＝FH＝23，HC＝HD＝223，所以cos∠GHD＝GH2＋DH2－DG22GH·DH＝29＋89－12×23×223＝18.故选A.12．(2019·四川南充)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝－x2＋1，－1≤x≤1，－|x－2|＋1，1＜x≤3.若关于x的方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是()A.14，13B.16，14C.16－67，16D.16，8－2156答案D解析由题意可得函数f(x)是以4为周期的周期函数，作出函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象，由图象可得方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，由Δ＝a－2－60＞0，9＋a－＋15＞0，25＋a－＋15＞0，3＜8－a2＜5，解得0a8－215.再由方程f(x)＝ax在(5,6)内无解，可得6a1，a16.综上可得16a8－215，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·凉山三模)直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为________．答案ln2－1解析设切点为P(m，n)，则n＝lnm，n＝12m＋b，y＝lnx的导数为y′＝1x，即有1m＝12，解得m＝2，n＝ln2，b＝ln2－1.14．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________.答案23解析由题意，得cos〈a，c〉＝aa－5b|a||2a－5b|＝2a2－5a·b|a||2a－5b|2＝21×4＋5＝23.15．(2019·开封一模)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的7正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是________．答案413解析由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE＝π3，∴∠AFC＝π－π3＝2π3；∴△DEF的面积为S△DEF＝12·2a·2a·sinπ3＝3a2，△AFC的面积为S△AFC＝12·a·3a·sin2π3＝334a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P＝3a23×334a2＋3a2＝413.16．(2019·陕西第二次质检)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}；②M＝x，yy＝1x；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝log2x}．其中是“垂直对点集”的序号是________．答案①③解析对于①，x1x2＋(sinx1＋1)(sinx2＋1)＝0，即x1sinx1＋1＝－sinx2＋1x2，f(x1)＝x1sinx1＋1与f(x2)＝－sinx2＋1x2的值域均为(－∞，＋∞)，故正确；对于②，若满足x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋1x1x2＝0，(x1x2)2＋1＝0，在实数范围内无解，故不正确；对于③，M＝{(x，8y)|y＝ex－2}，画出y＝ex－2的图象，如图，直角AOB始终存在，即对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，故正确；对于④，M＝{(x，y)|y＝log2x}，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”，故不正确．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2018成立的最小正整数n的值．解(1)根据题意，数列{an}满足an－2an＋1＋an＋2＝0，即an＋an＋2＝2an＋1，则数列{an}为等差数列，又由a1＝3，a3＝7，则数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1；bn＝a2n－1＝2n＋1.(2)根据题意，设Sn＝b1＋b2＋…＋bn，由(1)的结论，bn＝a2n－1＝2n＋1，则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋n＝2n＋1＋n－2，若b1＋b2＋…＋bn＞2018，则2n＋1＋n＞2020，且n∈N*，则n≥10，即