（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 素养提升练（二）理（含解析）

1素养提升练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·合肥一中模拟)设z＝1＋i1－i，z是z的共轭复数，则z·z＝()A．－1B．iC．1D．4答案C解析z＝1＋i1－i＝＋2－＋＝i，则z＝－i，故z·z＝i·(－i)＝1，故选C.2．(2019·德州二模)已知全集U＝Z，A＝{1,2,3,4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)0，x∈Z}，则集合A∩(∁UB)的子集的个数为()A．2B．4C．8D．16答案C解析由题意可得，∁UB＝{x|(x＋1)(x－3)≤0，x∈Z}＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，则集合A∩(∁UB)＝{1,2,3}，故其子集的个数为23＝8，故选C.3．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1C.2D．2答案C解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝2.故选C.4．(2019·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝lnx－12x2的图象大致是()答案B解析∵f(x)＝lnx－12x2(x0)，∴f′(x)＝1x－x(x0)，则当x∈(0,1)时，f′(x)0，函数f(x)为增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)为减函数；当x＝1时，f(x)2取最大值，f(1)＝－12.故选B.5．(2019·邢台一中一模)已知向量a＝(m,3)，b＝(3，－n)，若a＋2b＝(7,1)，则mn＝()A．－1B．0C．1D．2答案C解析∵a＋2b＝(7,1)，∴m＋6＝7，3－2n＝1，得m＝n＝1，∴mn＝1.故选C.6．(2019·江南十校模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝27，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为()A.73B.59C.49D.74答案B解析由正弦定理可得，bsinB＝csinC，即bc＝sinBsinC＝sin2CsinC＝2sinCcosCsinC＝2cosC＝273⇒cosC＝73，∴cos2C＝2cos2C－1＝2×79－1＝59，故选B.7．(2019·南昌模拟)根据某校10位高一同学的身高，设计一个程序框图，用Ai(i＝1,2，…，10)表示第i个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是()A．B＝B＋AiB．B＝B＋A2iC．B＝(B＋Ai－A)2D．B＝B2＋A2i3答案B解析由s2＝x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2n＝x21＋x22＋…＋x2n－x1＋x2＋…＋xnx＋nx2n＝x21＋x22＋…＋x2n－2nx2＋nx2n＝x21＋x22＋…＋x2nn－x2，循环退出时i＝11，知x2＝Ai－12.∴B＝A21＋A22＋…＋A210，故程序框图①中要补充的语句是B＝B＋A2i.故选B.8．(2019·西安交大附中二模)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种答案B解析因为“礼”必须排在第一，故只需考虑其余5种基本才能的排法即可．如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有2种排法，即A22种，余下3种才能共有A33种排法，故此时共有A22A33＝12种排法；如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有3×2＝6种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有A22种排法，故共有24种排法，综上，共有36种排法，故选B.9．(2019·上饶一模)在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析在图1中连接DE，EC，∵AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，得△DEC为等腰三角形，4设空间四边形ABCD的边长为2，即AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝2，在△DEC中，DE＝EC＝3，CF＝1，得EF＝2.在图2中取AD的中点M，连接MF，EM，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得cos∠EFM＝FE2＋MF2－ME22FE·MF＝22＋1－122＝22，∴∠EFM＝45°，即异面直线AC与EF所成的角为45°.故选B.10．(2019·广大附中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0φπ)的最大值为2，且满足f(x)＝fπ2－x，则φ＝()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案D解析∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0φπ)的最大值为2，∴1＋a2＝2，∴a＝±3，∴f(x)＝sin(2x＋φ)±3cos(2x＋φ)＝2sin2x＋φ±π3，又∵f(x)＝fπ2－x，∴直线x＝π4是函数f(x)的一条对称轴，∴2×π4＋φ±π3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴φ＝±π3＋kπ(k∈Z)，又∵0φπ，∴φ＝π3或2π3.故选D.11．(2019·临沂检测)已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x0时，函数f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g(－1)＋g(－2)＝()5A．－7B．－9C．－11D．－13答案C解析∵x0时，f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，∴x0时，f(x)＝2x，则g(x)＝2x＋x2，又g(x)是奇函数，∴g(－1)＋g(－2)＝－[g(1)＋g(2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.故选C.12．(2019·济南模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为()A.23B.34C.53D.74答案C解析∵AF2→＝2F2B→，设BF2＝x，则AF2＝2x，由椭圆的定义，可以得到AF1＝2a－2x，BF1＝2a－x，∵AF1→·AF2→＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝a3，∴AF2＝2a3，AF1＝4a3，在Rt△AF1F2中，有4a32＋2a32＝(2c)2，整理得c2a2＝59，∴e＝ca＝53.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江西八校联考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则1e1x－xadx＝________.答案e2解析因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即ln(ex＋1)＋ax＝ln(e－x＋1)－ax恒成立，2ax＝lne－x＋1ex＋1＝ln1ex＝－x恒成立，所以a＝－12.1e1x＋2xdx＝(lnx＋x2)e1＝lne＋e2－ln1－12＝e2.14．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案16256解析由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Cr9·(2)9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C09·(2)9·x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.15．(2019·江南十校模拟)已知sinαcosα1＋3cos2α＝14，且tan(α＋β)＝13，则tanβ的值为________．答案－1解析∵sinαcosα1＋3cos2α＝sinαcosαsin2α＋4cos2α＝tanαtan2α＋4＝14，∴tanα＝2，又tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2＋tanβ1－2tanβ＝13，解得tanβ＝－1.16．(2019·湘潭一模)在三棱锥D－ABC中，CD⊥底面ABC，AC⊥BC，AB＝BD＝5，BC＝4，则此三棱锥的外接球的表面积为________．答案34π解析由题意可得AC＝CD＝52－42＝3，故三棱锥D－ABC的外接球的半径R＝32＋42＋322＝342，则其表面积为4π×3422＝34π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·唐山一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋Sn＝n＋1.(1)求Sn，an；(2)若bn＝(－1)n－1·an＋1Sn＋n，{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解(1)令n＝1，得a1＋a1＝2，(a1＋2)(a1－1)＝0，得a1＝1，所以Sn＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝1适合上式，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1·an＋1Sn＋n＝(－1)n－1·2n＋1n2＋n＝(－1)n－1·1n＋1n＋1.当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn7＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋…－1n＋1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，当n为奇数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋…＋1n＋1n＋1＝1＋1n＋1＝n＋2n＋1，综上所述，Tn＝nn＋1n为偶数，n＋2n＋1n为奇数另解：Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋…＋－n－1·1n＋1n＋1＝1＋－n－1·1n＋1＝n＋1＋－n－1n＋1.18．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M为线段PB上一点．(1)若λ＝13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知PA＝2，AD＝1，若异面直线PA与CD成90°角，二面角B－PC－D的余弦值为－1010，求CD的长．解(1)延长BA，CD交于点E，连接PE，则PE⊂平面PCD.若AM∥平面PCD.由平面PBE∩平面PCD＝PE，AM⊂平面PBE，则AM∥PE.由AD＝13BC，AD∥BC，则PMPB＝EAEB＝13.故点M是线段PB上靠近点P的一个三等分点．(2)∵PA⊥AD，PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则PA⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴、z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．8则P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，Bt，1－1λ，0，则BC→＝0，1λ，0，PC→＝(t,1，－2)，CD→＝(－t,0,0)．设平面PBC和平面PCD的法向量分别为n1＝