（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 基础巩固练（五）理（含解析）

1基础巩固练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·濮阳市二模)已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2(3x－1)＜2}，则()A．A∪B＝(0，＋∞)B．A∩B＝0，13C．A∪B＝RD．A∩B＝0，53答案A解析依题意，得B＝{x|log2(3x－1)＜2}＝{x|0＜3x－1＜4}＝x13＜x＜53，所以A∩B＝13，53，A∪B＝(0，＋∞)．故选A.2．(2019·重庆一中模拟)若复数z满足(1－i)z＝2＋3i，则复数z的实部与虚部之和为()A．－2B．2C．－4D．4答案B解析由(1－i)z＝2＋3i，得z＝2＋3i1－i＝－12＋52i.则复数z的实部与虚部之和为－12＋52＝2.故选B.3．(2019·武汉市模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是()A．30B．40C．42D．48答案A2解析根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为1815%＝120人，故选择A方式的人数为120－42－30－18＝30.故选A.4．(2019·兰州一中模拟)在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则使{an}的前n项和Sn＜0成立的最大的自然数n为()A．11B．10C．19D．20答案C解析∵数列{an}为等差数列，a10＜0，a11＞0，∴d＞0，又∵a11＞|a10|，∴a11＞－a10，即a10＋a11＞0，由S20＝a1＋a202×20＝10(a10＋a11)＞0，S19＝a1＋a192×19＝19a10＜0，故可得使{an}的前n项和Sn＜0成立的最大的自然数为19，故选C.5．(2019·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)＝cosxex，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0答案B解析∵f(x)＝cosxex，∴f′(x)＝－sinx－cosxex，∴f′(0)＝－1，f(0)＝1，即函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线的斜率为－1，∴函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.故选B.6．(2019·邯郸市模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A．10B．9C．8D．7答案B解析∵数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102)，∴数学考试的成绩ξ关于ξ＝105对称，∵P(95≤ξ≤105)＝0.32，∴P(ξ≥115)＝12(1－0.64)＝0.18，∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.故选B.7．(2019·安徽宣城第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()3A.163B.323C.643D.1283答案C解析由三视图可得其直观图为三棱锥E－ABD，所以该几何体的体积为V＝13×12×4×8×4＝643.8．(2019·武汉二中一模)已知二项式2x－1xn(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为()A．14B．－14C．240D．－240答案C解析由题意可得C1n∶C2n＝2∶5，解得n＝6，Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·(－1)r(x－12)r＝(－1)r26－rCr6·x6－32r，由6－32r＝3，得r＝2，所以x3的系数为(－1)2×24×C26＝240.故选C.9．(2019·宜春三模)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP→＝acosθ＋bsinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ→|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤RC．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R答案A解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则OQ→＝(2，2)，OP→＝(cosx，sinx)，区域Ω表示的是平面上的点到点Q(2，2)的距离在r到R之间(包含边界)，如图中的阴影部分圆环，4要使C∩Ω为两段分离的曲线，则1＜r＜R＜3，故选A.10．(2019·包头市一模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.316B.38C.14D.18答案A解析设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1.∴S△BCI＝12×22×22＝14，S▱EFGH＝2S△BCI＝2×14＝12，∴所求的概率为P＝14＋122×2＝316，故选A.11．(2019·张家界市三模)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，|OP|＝3b(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为()A.43B.233C.76D.426答案D解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由余弦定理可得m2＋n2－mn＝4c2，①5m2＝c2＋|OP|2－2c|OP|cos∠POF1，n2＝c2＋|OP|2－2c|OP|cos(π－∠POF1)，即n2＝c2＋|OP|2＋2c·|OP|cos∠POF1，由以上两式可得m2＋n2＝2c2＋2×9b2，即m2＋n2＝2c2＋18b2，②又由双曲线的定义可得|m－n|＝2a，即m2＋n2－2mn＝4a2，③由①③可得m2＋n2＝8c2－4a2，代入②可得9b2＝3c2－2a2，即6c2＝7a2，故离心率e＝76＝426，故选D.12．(2019·南宁市二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log12x＋1，x∈[0，1，1－|x－3|，x∈[1，＋∞，则关于x的函数y＝f(x)－a(－1＜a＜0)的所有零点之和为()A．2a－1B．2－a－1C．1－2－aD．1－2a答案B解析作出函数f(x)与y＝a的图象如下，结合图象可知，函数f(x)与y＝a的图象共有5个交点，故函数y＝f(x)－a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，∴b＋c＝2×(－3)＝－6，e＋f＝2×3＝6，log12(x＋1)＝a，故x＝－1＋2－a，即d＝－1＋2－a，故b＋c＋d＋e＋f＝－1＋2－a，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·广西联合模拟)已知实数x，y满足6x－y－3≥0，x＋2y－6≤0，x＞0，则yx的最大值是________．答案14解析由约束条件可作出如图中阴影部分所示的可行域，两直线的交点为A(4,1)，则当过原点的直线过点A时，斜率kmax＝y－0x－0＝14，即yx的最大值为14.14．(2019·山东师大附中一模)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数数列{an}满足Sn＝12an＋1an，n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项和，则1S1＋1S2＋…＋1S121＝________.答案20解析由题意可知Sn＞0，当n＞1时，Sn＝12Sn－Sn－1＋1Sn－Sn－1化简可得S2n－S2n－1＝1，当n＝1，S21＝a21＝1，所以数列{S2n}是首项和公差都为1的等差数列，即S2n＝n，∴Sn＝n，又n＞1时，2(n＋1－n)＝2n＋1＋n＜22Sn＜2n＋n－1＝2(n－n－1)，记S＝1S1＋1S2＋…＋1S121，一方面S＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20，另一方面S＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21.所以20＜S＜21.即[S]＝20.15．(2019·化州市三模)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．7答案472解析用间接法，符合条件的取法的种数为C316－4C34－C24·C112＝472.16．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案118.8解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吉林一中模拟)如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝13，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝3π4，求AD的长；(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求sin∠BADsin∠CAD的值．解(1)在△ABC中，∵cosB＝13，∴sinB＝223.在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB＝ADsinB，8又AB＝2，∠ADB＝π4，sinB＝223.∴AD＝83.(2)∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC，又S△ADC＝423，∴S△ABC＝42，∵S△ABC＝12AB·BCsinB，∴BC＝6，∵S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD，S△ABD＝2S△ADC，∴sin∠BADsin∠CAD＝2·ACAB，在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.∴AC＝42，∴sin∠BADsin∠CAD＝2·ACAB＝42.18．(本小题满分12分)(2019·青岛市二模)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10(x，y，z)(2,2，3)(3,2，3)(3,3，3)(1,2，2)(2,3，2)(2,3，3)(2,2，2)(2,3，3)(2,1，1)(2,2，2)(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．解A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10x23312