（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（四） 三角函数

1课时达标训练(四)三角函数A组——大题保分练1．(2019·如皋中学模拟)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3，c＝5，B＝2A，求b的值；(2)若acosC＋12c＝b，cosC＋π6＝13，求sinB的值．解：(1)由B＝2A得sinB＝sin2A＝2sinAcosA，由正弦定理和余弦定理可得b＝2a·b2＋c2－a22bc.将a＝3，c＝5代入，得b＝26.(2)由acosC＋12c＝b及正弦定理得，sinAcosC＋12sinC＝sinB，又sinB＝sin(A＋C)，所以sin(A＋C)＝sinAcosC＋12sinC，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋12sinC，所以cosAsinC＝12sinC，因为sinC≠0，所以cosA＝12，又0＜A＜π，所以A＝π3.则0＜C＜2π3，所以π6＜C＋π6＜5π6.因为cosC＋π6＝13，所以sinC＋π6＝1－cos2C＋π6＝223.所以sinB＝sin(A＋C)＝sinC＋π3＝sinC＋π6＋π6＝sinC＋π6cosπ6＋cosC＋π6sinπ6＝26＋16.2．(2019·淮阴中学模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)其中ω，φ为常数，且ω＞0，－π2＜φ＜π2的图象上相邻两个对称轴之间的距离为π，且函数图象过点2π3，－2.(1)求函数f(x)的解析式；2(2)若f(α)＝23(α为锐角)，求sinπ3－2α的值．解：(1)由于函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象上相邻两个对称轴之间的距离为π，所以T2＝π，即T＝2π.又ω＞0，故ω＝2πT＝1，所以f(x)＝2cos(x＋φ)．因为函数图象过点2π3，－2，所以f2π3＝2cos2π3＋φ＝－2，所以cos2π3＋φ＝－1，所以2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ，k∈Z，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2cosx＋π3.(2)由f(α)＝23，得cosα＋π3＝13.因为α为锐角，cosα＋π3＞0，所以0＜α＋π3＜π2，所以sinα＋π3＝1－cos2α＋π3＝223，所以sinπ3－2α＝sinπ－π3－2α＝sin2α＋2π3＝sin2α＋π3＝2sinα＋π3cosα＋π3＝2×223×13＝429.3．(2019·盐城中学)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，sinAsinCcosB＝ksin2B(k∈R)．(1)若k＝12，且b2＝23ac，求sinB＋π4的值；(2)若k＝1，求cos2B的最小值．解：(1)由k＝12得sinAsinCcosB＝12sin2B.在△ABC中，由asinA＝bsinB＝csinC得accosB＝12b2，因为b2＝23ac，3所以cosB＝13，又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝223，所以sinB＋π4＝sinBcosπ4＋cosBsinπ4＝4＋26.(2)当k＝1时，sinAsinCcosB＝sin2B.由正、余弦定理得ac·a2＋c2－b22ac＝b2，化简得a2＋c2＝3b2，所以cosB＝b2ac＝a2＋c23ac≥2ac3ac＝23.所以cos2B＝2cos2B－1≥2×232－1＝－19，当且仅当a＝c时，cos2B的最小值为－19.4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，角α的终边经过点P12，cos2θ，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且OP―→·OQ―→＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求tan(α＋β)的值．解：(1)由OP―→·OQ―→＝－12，得12sin2θ－cos2θ＝－12，∴sin2θ＝2cos2θ－1，即1－cos2θ2＝cos2θ，解得cos2θ＝13.(2)由(1)，知sin2θ＝1－cos2θ2＝13，则cos2θ＝23，得P12，23，Q13，－1，∴tanα＝43，tanβ＝－3，故tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝43－31－43×（－3）＝－13.B组——大题增分练41．(2019·南通等七市三模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinB＋sinC)．(1)求角C的值；(2)若a＝4b，求sinB的值．解：(1)由a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinB＋sinC)及正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得a(a－b)＝(c－b)(b＋c)，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝12.又0＜C＜π，所以C＝π3.(2)法一：由a＝4b及a2＋b2－c2＝ab，得c2＝16b2＋b2－4b2＝13b2，即c＝13b.由正弦定理csinC＝bsinB，得13b32＝bsinB，所以sinB＝3926.法二：由a＝4b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝4sinB.由A＋B＋C＝π，得sin(B＋C)＝4sinB，因为C＝π3，所以12sinB＋32cosB＝4sinB，即7sinB＝3cosB.又sin2B＋cos2B＝1，所以sin2B＝352，因为在△ABC中，sinB＞0，所以sinB＝3926.2．已知向量a＝sinx，34，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sinB＝63，求f(x)＋4cos2A＋π6x∈0，π3的取值范围．解：(1)∵a∥b，∴34cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－34.5∴cos2x－sin2x＝cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x＝1－2tanx1＋tan2x＝85.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin2x＋π4＋32.由正弦定理，得asinA＝bsinB，可得sinA＝22，∴A＝π4.∴f(x)＋4cos2A＋π6＝2sin2x＋π4－12.∵x∈0，π3，∴2x＋π4∈π4，11π12.∴32－1≤f(x)＋4cos2A＋π6≤2－12.∴f(x)＋4cos2A＋π6的取值范围为32－1，2－12.3．(2019·南师附中、淮阴中学四月联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝8，cosB＝－55，C＝π4.(1)求a；(2)求cos2A＋π4的值．解：(1)因为cosB＝－55，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝1－－552＝255.在△ABC中，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinB＋π4＝sinBcosπ4＋cosBsinπ4＝255×22＋－55×22＝1010.由正弦定理得a＝b·sinAsinB＝8×1010255＝22.(2)在△ABC中，cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cosB＋π4＝－cosBcosπ4＋sinBsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.6cos2A＝2cos2A－1＝2×310102－1＝45，sin2A＝2sinAcosA＝2×1010×31010＝35，因此cos2A＋π4＝cos2Acosπ4－sin2Asinπ4＝45×22－35×22＝210.4.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈0，π2，△AOB为正三角形．(1)若点C的坐标为35，45，求cos∠BOC；(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．解：(1)因为点C的坐标为35，45，根据三角函数的定义，得sin∠COA＝45，cos∠COA＝35.因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝π3.所以cos∠BOC＝cos∠COA＋π3＝cos∠COAcosπ3－sin∠COAsinπ3＝35×12－45×32＝3－4310.(2)因为∠AOC＝θ0θπ2，所以∠BOC＝π3＋θ.在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cosθ＋π3＝2－2cosθ＋π3.因为0θπ2，所以π3θ＋π35π6.所以－32cosθ＋π312.所以12－2cosθ＋π32＋3.所以函数f(θ)的值域为(1，2＋3)．