（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（十三） 数列中的基本量计算

1课时达标训练(十三)数列中的基本量计算A组——抓牢中档小题1．(2018·南京三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．解析：由S6＝(a1＋a2＋a3)＋a1q3＋a2q3＋a3q3＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3)＝(1＋q3)S3＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4.答案：42．(2019·苏北三市一模)在等差数列{an}中，若a5＝12，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由a5＝12，8a6＋2a4＝a2，得a5＝a1＋4d＝12，8（a1＋5d）＋2（a1＋3d）＝a1＋d，解得a1＝52，d＝－12，所以S6＝6a1＋6×（6－1）2d＝152.答案：1523．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为________．解析：由S12＝4S6，当q＝1，显然不成立，所以q≠1，则a1（1－q12）1－q＝4a1（1－q6）1－q，因为a11－q≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.答案：2或64．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，2所以a2b2＝1.答案：15．(2019·无锡期末)设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________．解析：设数列{an}的公差为d，d≠0，因为a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，所以(a2－1)2＝(a1－1)(a4－1)，即(6－d)2＝(6－2d)(6＋d)，化简得3d2－6d＝0，因为d≠0，所以d＝2，所以a10＝a3＋7d＝7＋14＝21.答案：216．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．解析：依题意有a2a4＝a23，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2a2a4＝3a3，整理有a3(a23－3)≥0，因为an0，所以a3≥3，所以a3的最小值为3.答案：37．等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．解析：在等差数列{an}中，设公差为d，因为“an－Sn＝a1＋(n－1)d－a1n＋n（n－1）2d＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次项系数为1，所以－d2＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n项和Sn＝13n＋n（n－1）2×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k＝7.答案：78．(2019·苏锡常镇四市一模)中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为________．解析：由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{an}，易知公比q＝12，则S7＝a1（1－q2）1－q＝2a11－1128＝12764a1＝700，所以a1＝700×64127，所以a7＝a1q6＝700×64127×126＝700127，所以这匹马最后一天行走的里程数为700127.3答案：7001279．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a22，则S3＝________．解析：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q0，且a10，由4a4，a3，6a5成等差数列，得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝13.又由a3＝3a22，解得a1＝13，所以S3＝a1＋a2＋a3＝13＋19＋127＝1327.答案：132710．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝89，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200.答案：20011．(2018·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．解析：令a1＋a2＝t(t0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq2－2t＝6(其中q为公比)，所以t＝6q2－2(q＞2)，所以a5＋a6＝tq4＝6q2－2q4＝64q2－2＋（q2－2）＋4≥624q2－2·（q2－2）＋4＝48(当且仅当q＝2时等号成立)．答案：4812．(2019·苏州中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2n－1an)an＋1，n∈N*.设数列2an＋1－anan＋1的前n项和为Tn，则2n－1Tn＋12n－1＝________．解析：∵(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2n－1an)an＋1，∴anSn＋1－an＋1Sn＝2n－1an＋1an，又an≠0，∴Sn＋1an＋1－Snan＝2n－1.则S2a2－S1a1＝1，S3a3－S2a2＝2，…，Snan－Sn－1an－1＝2n－2(n≥2，n∈N*)．以上各式相加，得Snan－S1a1＝1＋2＋…＋2n－2(n≥2，n∈N*)．∵S1a1＝1，∴Snan－1＝2n－1－1，∴Sn＝2n－1an(n≥2，n∈N*)．∵n＝1时上式也成立，∴Sn＝2n－1an(n∈N*)．∴Sn＋1＝2nan＋1.两式相减，得an＋1＝2nan＋1－2n－1an，即(2n－1)an＋1＝2n－1an，则2an＋1－anan＋1＝12n－1，∴Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1，4∴2n－1Tn＋12n－1＝Tn＋12n－1＝2.答案：213．(2019·海安中学模拟)记min{a，b}＝a，a≤b，b，ba.设数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a1＝0，b1＝1，cn＝min{an，bn}，n∈N*，若数列{cn}中存在连续三项成等比数列，则d的最小值为________．解析：法一：由题意知an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，bn＝2n－1.数列{cn}中存在连续三项成等比数列，不可能是等差数列{an}中连续的三项，理由：假设是等差数列{an}中连续的三项，分别记为(k－1)d，kd，(k＋1)d，k≥2，k∈N*，则k2d2＝(k－1)d·(k＋1)d，得d＝0，an＝0，所以cn＝0，与题意不相符．又数列{an}中的项为0，d，2d，3d，…，数列{bn}中的项为1，2，4，8，…，所以当d≤2时，cn＝an，不满足题意；当2d83时，akbk(k≥4，k∈N*)，此时数列{cn}的前三项为0，2，4，从第四项开始cn＝an，不满足题意；当d≥83时，数列{cn}的前四项为0，2，4，8，此时，c2，c3，c4成等比数列，满足题意．综上，d的最小值为83.法二：在平面直角坐标系内，点(n，bn)在指数函数y＝2x－1的图象上，点(n，an)在过点(1，0)，且斜率为d的直线l上．根据min{a，b}的意义知，{cn}取位于两支曲线中下方曲线上的点的纵坐标．易知数列{cn}中连续三项成等比数列，不可能是等差数列{an}中的连续三项．如图，当直线l过点(4，8)时，c2＝b2＝2，c3＝b3＝4，c4＝b4＝8，第一次满足{cn}中连续三项成等比数列，此时直线l的斜率为83，即d取得最小值，最小值为83.答案：8314．(2018·无锡期末)已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，54，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最大值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列的性质可得a2a5＝a3a4＝2a3，由于a3≠0，可得a4＝2.因为a4，54，2a7成等差数列，5所以2×54＝a4＋2a7，可得a7＝14，由a7＝a4q3，可得q＝12，由a4＝a1q3，可得a1＝16，从而an＝a1qn－1＝16×12n－1.法一：令an≥1可得n≤5，故当1≤n≤5时，an≥1，当n≥6时，0an1，所以当n＝4或5时，a1·a2·…·an的值最大，为1024.法二：令Tn＝a1·a2·…·an＝24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2n（4＋5－n）2＝2n（9－n）2.因为n∈N*，所以当且仅当n＝4或5时，n（9－n）2取得最大值10，从而Tn取得最大值T10＝210＝1024.答案：1024B组——力争难度小题1．已知函数f(x)＝x2－ax＋b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和－2三个数适当排序后，既可成为等差数列，也可成为等比数列，则a＋b的值为________．解析：由题意可得m＋n＝a，mn＝b，因为a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，－2这三个数适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得2n＝m－2，mn＝4，①或2m＝n－2，mn＝4.②解①得m＝4，n＝1，解②得m＝1，n＝4.所以a＝5，b＝4，则a＋b＝9.答案：92．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比q1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn1的n的最小值为________．解析：由a2a4＝a3得a23＝a3，又{an}的各项均为正数，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a53＝1，当n＝6时，T6＝T5·a6，又公比q1，a3＝1，故a61，T61.答案：663．已知正项数列{an}满足an＋1＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a4＋…＋1an＋an＋1＋1，其中n∈N*，a4＝2，则a2020＝________．解析：an＋1＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋…＋1an＋an＋1＋1，所以n≥2时，an＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋…＋1an－1＋an＋1，两式相减得an＋1－an＝1an＋1＋an(n≥2)，所以a2n＋1－a2n＝1(n≥2)，a22020＝a24＋(2020－4)×1＝2020，所以a2020＝2020.答案：20204．(2018·南京考前模拟)数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：(1，3)，(5，7，9，11)，(13，15，17，19，21，23)，…，则第n组中各数的和为________．解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n，2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n组中各数的和为Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3.答案：4n35．(2019·南通等七市二模)已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，B＝{x|x＝8k－8，k∈N*}，从集合A中取出m个不