（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（三） 解三角形

1课时达标训练(三)解三角形A组——大题保分练1．(2019·南京三模)已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acosB＋bcosA＝ccosAcosC.(1)求证：A＝C；(2)若b＝2，BA―→·BC―→＝1，求sinB的值．解：(1)证明：由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCcosAcosC，即(sinAcosB＋sinBcosA)cosC＝sin(A＋B)cosC＝sinCcosA.因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA.因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA.又A，C是△ABC的内角，所以A＝C.(2)由(1)知，A＝C，所以a＝c，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2－2a2.因为BA―→·BC―→＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3.所以cosB＝13.又B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝223.2．(2019·无锡期末)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)，且m∥n.(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．解：(1)由m∥n及m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)得a(sinA＋sinB)－(b＋c)(sinC－sinB)＝0.由正弦定理，得a(a＋b)－(b＋c)(c－b)＝0，所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab.又c2＝a2＋b2－2abcosC，所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，所以ab＝－2abcosC.2因为ab＞0，所以cosC＝－12.又C∈(0，π)，所以C＝2π3.(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC，所以a2＋b2－2abcos2π3＝9，即(a＋b)2－ab＝9，所以ab＝(a＋b)2－9≤a＋b22，所以3（a＋b）24≤9，即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤23，当且仅当a＝b时取等号．又a＋b＞c，所以6＜a＋b＋c≤23＋3，所以△ABC周长的取值范围是(6，3＋23]．3．(2018·盐城三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．(1)若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长；(2)若AB―→·AD―→＝c2，求角B的大小．解：(1)在△ADC中，因为AD＝1，AC＝2，DC＝12BC＝2，由余弦定理得cosC＝AC2＋DC2－AD22AC·DC＝22＋22－122×2×2＝78.故在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋22－2×4×2×78＝6，所以c＝6.(2)因为AD为边BC上的中线，所以AD―→＝12(AB―→＋AC―→)，所以c2＝AB―→·AD―→＝AB―→·12()AB―→＋AC―→＝12AB―→2＋12AB―→·AC―→＝12c2＋12cbcosA，∴c＝bcosA.∴AB⊥BC，∴B＝90°.4.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝210，∠CAD＝π4，tan∠ADC＝－2.求：(1)CD的长；(2)△BCD的面积．3解：(1)因为tan∠ADC＝－2，所以sin∠ADC＝255，cos∠ADC＝－55.所以sin∠ACD＝sinπ－∠ADC－π4＝sin∠ADC＋π4＝sin∠ADCcosπ4＋cos∠ADCsinπ4＝1010，在△ADC中，由正弦定理得CD＝AD·sin∠CADsin∠ACD＝5.(2)因为AD∥BC，所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝55，sin∠BCD＝255.在△BDC中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2·BC·CD·cos∠BCD，得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7(负值舍去)，所以S△BCD＝12·BC·CD·sin∠BCD＝12×7×5×255＝7.B组——大题增分练1．(2019·苏北三市一模)在△ABC中，sinA＝23，A∈π2，π.(1)求sin2A的值；(2)若sinB＝13，求cosC的值．解：(1)由sinA＝23，A∈π2，π，得cosA＝－1－sin2A＝－1－232＝－53，所以sin2A＝2sinAcosA＝－459.(2)由A∈π2，π，得B为锐角，又sinB＝13，所以cosB＝1－132＝223，所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－－53×223－23×13＝210＋29.2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝45.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.3．(2019·南通等七市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝2bcosA，cosA＝33.(1)求角B的大小；(2)若a＝6，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为cosA＝33，0＜A＜π，所以sinA＝1－cos2A＝63.由acosB＝2bcosA及正弦定理asinA＝bsinB，得sinAcosB＝2sinBcosA，所以cosB＝sinB.若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0.于是tanB＝sinBcosB＝1.5又0＜B＜π，所以B＝π4.(2)由(1)及正弦定理asinA＝bsinB，得663＝b22，所以b＝322.又sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝63×22＋33×22＝23＋66，所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×6×322×23＋66＝6＋324.4．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB＝2c－b.(1)若cos(A＋C)＝－5314，求cosC的值；(2)若b＝5，AC―→·CB―→＝－5，求△ABC的面积；(3)若O是△ABC外接圆的圆心，且cosBsinC·AB―→＋cosCsinB·AC―→＝mAO―→，求m的值．解：由2acosB＝2c－b，得2sinAcosB＝2sinC－sinB，即2sinAcosB＝2sin(A＋B)－sinB，化简得cosA＝12，则A＝60°.(1)由cos(A＋C)＝－cosB＝－5314，得cosB＝5314，所以sinB＝1114.所以cosC＝cos(120°－B)＝－12cosB＋32sinB＝3314.(2)因为AC―→·CB―→＝AC―→·(AB―→－AC―→)＝AC―→·AB―→－AC―→2＝|AC―→|·|AB―→|·cosA－|AC―→|2＝12bc－b2＝－5，又b＝5，解得c＝8，所以△ABC的面积为12bcsinA＝103.(3)由cosBsinC·AB―→＋cosCsinB·AC―→＝mAO―→，可得cosBsinC·AB―→·AO―→＋cosCsinB·AC―→·AO―→＝mAO―→2.(*)因为O是△ABC外接圆的圆心，6所以AB―→·AO―→＝12AB―→2，AC―→·AO―→＝12AC―→2，又|AO―→|＝a2sinA，所以(*)可化为cosBsinC·c2＋cosCsinB·b2＝12m·a2sin2A，所以m＝2(cosBsinC＋sinBcosC)＝2sin(B＋C)＝2sinA＝3.