（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（七） 平行与垂直

1课时达标训练(七)平行与垂直A组——大题保分练1．(2019·苏北三市期末)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．(1)求证：EF∥平面A1BD；(2)若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.证明：(1)因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.2.(2019·南京四校联考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，E是BC的中点，F在棱PC上，且PA∥平面DEF.(1)求证：AD⊥PC；(2)求PFFC的值．解：(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥DC.因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又PD，DC⊂平面PCD，PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC.(2)如图，连接AC，交DE于G，连接FG.因为PA∥平面DEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEF＝FG.所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC.2因为底面ABCD是矩形，E是BC的中点，所以AD∥BC，AD＝2EC.所以易知AGGC＝ADEC＝2.所以PFFC＝2.3.(2019·扬州期末)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是四边形AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)BB1⊥AC.证明：(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形．∵E，F分别是四边形AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，∴E，F分别是AB1，CB1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵四边形AA1B1B为矩形，∴BB1⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BB1⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴BB1⊥AC.4．(2019·南京三模)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.(1)求证：平面PAC⊥平面PAB；(2)设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，所以由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos60°＝3.因为12＋()32＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.又AC⊥PA，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.(2)因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.3又BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.B组——大题增分练1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点．求证：(1)AC∥平面DMN；(2)平面DMN⊥平面BB1D1D.证明：(1)连结A1C1，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，因为AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC.又M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MN∥A1C1，所以AC∥MN.又AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，所以AC∥平面DMN.(2)因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，而MN⊂平面A1B1C1D1，所以MN⊥DD1.又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，所以A1C1⊥B1D1，而MN∥A1C1，所以MN⊥B1D1.又MN⊥DD1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，且DD1∩B1D1＝D1，所以MN⊥平面BB1D1D.而MN⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1D1D.2．(2019·扬州中学模拟)如图，已知三棱锥P­ABC中，AC⊥BC，PA＝PC，棱AC的中点为E，且BC∥平面PEF.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：平面PAC⊥平面PEF.证明：(1)因为BC∥平面PEF，BC⊂平面ABC，平面PEF∩平面ABC＝EF，所以EF∥BC.又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)因为PA＝PC，E是AC的中点，所以AC⊥PE.又AC⊥BC，EF∥BC，所以AC⊥EF.又PE∩EF＝E，PE，EF⊂平面PEF，所以AC⊥平面PEF.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PEF.3．(2019·南师附中、天一中学四月联考)如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知点4M为棱BC上异于B，C的一点．(1)若M为BC的中点，求证：A1C∥平面AB1M；(2)若平面AB1M⊥平面BB1C1C，求证：AM⊥BC.证明：(1)连接A1B，交AB1于点N.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，易知四边形AA1B1B为矩形，∴N为A1B的中点．又M为BC的中点，连接MN，∴MN∥A1C.又A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M.(2)过点B作BP⊥B1M，垂足为P，∵平面AB1M⊥平面B1BCC1，平面AB1M∩平面B1BCC1＝B1M，BP⊂平面BB1C1C，∴BP⊥平面AB1M.AM⊂平面AB1M.∴BP⊥AM.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM.又BP∩BB1＝B，BP，BB1⊂平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC.4．(2018·常州期末)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．(1)求证：BD⊥AC；(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.又PC∩OP＝P，PC⊂平面PAC，OP⊂平面PAC.所以BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.5又AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF，所以QF∥BC.