（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（六） 立体几何中的计算

1课时达标训练(六)立体几何中的计算A组——抓牢中档小题1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．解析：由题意，得圆锥的母线长l＝12＋22＝5，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×5＝5π.答案：5π2．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝34×22×6×6＝363(cm3)．答案：3633．(2019·扬州中学模拟)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S­ABC的体积V＝13×12SC·OB·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.答案：36π4．(2019·南京四校联考)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点E是棱BB1上一点(异于端点)，则三棱锥A1­AEC的体积为________．解析：由题意知，在正三角形ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝34×22＝3.连接BA1，由等体积法知，VA1­AEC＝VE­AA1C＝VB­A1AC＝VA1­ABC＝13×AA1×S△ABC＝3.答案：35．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆2锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由12·2π3·l2＝3π，得l＝3，又由2π3·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝l2－r2＝22，所以V＝13·πr2·h＝223π.答案：223π6.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3.解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面高为5cm，则正四棱锥的高为52－622＝4(cm)，所以所求容积V＝13×62×4＝48(cm3)．答案：487．(2019·苏锡常镇四市一模)已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由圆柱的轴截面的对角线长为2知，4r2＋h2＝4.圆柱的侧面积S＝2πrh≤π×4r2＋h22＝2π，当且仅当2r＝h时取等号，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.答案：2π8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2＝3π，则S1S2的值为________．解析：由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝13πr3，S2＝2πr2，由V1V2＝3π，即a313πr3＝3π，得a＝r，从而S1S2＝6a22πr2＝62π＝32π.答案：32π9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个3四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体P­AEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体P­AEF＝V四面体A­PEF＝13·S△PEF·AP＝13×12×1×1×2＝13.答案：1310．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．解析：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝13πr21h1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝13πr2h＝8.依题意有r1r＝h1h，V1＝1，V1V＝13πr21h113πr2h＝h1h3＝18，得h1＝12h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.答案：311.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．因为A1C1＝6，A1B＝210，BC1＝2，所以A1C21＋BC21＝A1B2，所以∠A1C1B＝90°.又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C21＋CC21－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6×2×－22＝50，所以A1C＝52，即CP＋PA1的最小值是52.答案：5212．(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．解析：设所得新长方体的高为h，根据题意，得ab＝2，（a＋1）（b＋2）h＝2，所以h＝42（a＋1）（b＋2）＝2ab＋2a＋b＋2＝22a＋b＋4≤222ab＋4＝14，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号，故所得新长方体高的最大值为14.答案：1413．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．解析：如图，设底面半径为r，由题意可得：母线长为2r.又侧面展开图面积为12×2r×2πr＝42π，所以r＝2.又截面三角形ABD为等边三角形，故BD＝AB＝2r，又OB＝OD＝r，故△BOD为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d，又VO­ABD＝VA­BOD，所以d×S△ABD＝AO×S△OBD.又S△ABD＝34AB2＝34×8＝23，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝2×223＝233.答案：23314.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm3.解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为22，所以注水高为1＋22.故应注水体积为π1＋22－4×43π×123＝13＋22π(cm3)．答案：13＋22πB组——力争难度小题1．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模5型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝12＋22＋52＝30，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.答案：30π3.(2019·启东中学模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为________cm.解析：法一：如图，过点S作SM⊥平面ABCD，垂足为M，连接AM，由题意，可知SM＝102cm，AM＝102cm，易发现点M到每条棱的距离均为10cm，所以点M即球心，球半径为10cm.法二：在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝102cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝102cm，SA＝20cm，所以O到SA的距离d＝10cm，6同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10cm.答案：104．(2019·河南模拟)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG∥CD，AF∥D1G.由题意易知CD∥C1D1，∴PG∥C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1∥D1G，∴PC1∥AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，∴截面M的面积S＝12AC1·PF＝123×2＝62.答案：625.如图所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2，若用平行于三棱柱A1B1C1­ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．解析：用过AB，AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；用过AB，BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4，1，2的长方体，其表面积为28；用过AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、7宽、高分别为4，2，1的长方体，其表面积为28，因此所求的长方体表面积的最小值为24.答案：246.如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．解析：四边形AEFG在前、后面的正投影如图①，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；四边形AEFG在左、右面的正投影如图②，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；四边形AEFG在上、下面的正投影如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.答案：12