（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（二十一） “函数、不等式与导数”专题提能课

1课时达标训练(二十一)“函数、不等式与导数”专题提能课A组——易错清零练1．函数f(x)＝1ln（4x－3）的定义域为________________．解析：由题意得4x－30，4x－3≠1，解得x＞34且x≠1，故函数的定义域是xx＞34且x≠1.答案：xx＞34且x≠12．(2019·南通等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝asinx＋bcosx(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为________．解析：由题意可得t＝1，b＝1，y′＝acosx－bsinx，则acos0－bsin0＝3，a＝3，所以(a＋b)t＝4.答案：43．(2019·无锡期初)已知二次函数f(x)＝(a＋b)x2＋(a－b)x－a＋b存在零点x0，若－1≤b≤2≤a≤4，则实数x0的取值范围是________．解析：法一：在平面直角坐标系aOb中作出满足－1≤b≤2≤a≤4的平面区域如图中阴影部分所示，ba表示可行域内的点(a，b)与原点O连线的斜率，所以ba∈－12，1，则12≤1＋ba≤2.易知a＋b≠0，则a－ba＋b＝－1＋2aa＋b＝－1＋21＋ba.令g(x)＝－1＋2x，则g(x)在12，2上单调递减，所以a－ba＋b＝－1＋21＋ba∈[0，3]．由题意知，f(x0)＝(a＋b)x20＋(a－b)x0－a＋b＝0，即(a＋b)x20＝(a－b)(1－x0)，易知x0＝1时不符合题意，当x0≠1时，有a－ba＋b＝x201－x0，因此0≤x201－x0≤3，解得x0的取值范围为－3－212，－3＋212.2法二：设a＋b＝2m，a－b＝2n，则a＝m＋n，b＝m－n，因为－1≤b≤2≤a≤4，所以－1≤m－n≤2≤m＋n≤4.在平面直角坐标系mOn中作出满足－1≤m－n≤2≤m＋n≤4的平面区域如图中阴影部分所示，nm表示可行域内的点(m，n)与原点O连线的斜率，所以nm∈[0，3]．由f(x0)＝(a＋b)x20＋(a－b)x0－a＋b＝0得(a＋b)x20＝(a－b)(1－x0)，易知x0＝1时不符合题意，x0≠1时，有a－ba＋b＝x201－x0，则0≤x201－x0≤3.解得x0的取值范围为－3－212，－3＋212.答案：－3－212，－3＋2124．设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足x0时，f(x)＋xf′(x)0，f(2)＝0，则不等式f(x)0的解集为________．解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)．∵x0时，f(x)＋xf′(x)0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴F(x)＝xf(x)是定义在R上的偶函数．∵f(2)＝0，∴F(－2)＝F(2)＝2f(2)＝0.∴f(x)0等价于x0，F（x）F（2）或x0，F（x）F（－2），解得x2或－2x0.答案：(－2，0)∪(2，＋∞)B组——方法技巧练1．(2019·泰州中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在区间[－1，1]上，f(x)＝sinπ2x＋m，－1≤x0，x，0≤x≤1，则f20172＋f20192的值为________．3解析：因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，所以f(－1)＝f(1)，f20172＝f2×504＋12＝f12，f20192＝f2×505－12＝f－12.由f(－1)＝f(1)得sin－π2＋m＝1，所以m＝2，所以f20172＋f20192＝f12＋f－12＝12＋sin－π4＋2＝5－22.答案：5－222．已知m，n∈(2，e)，且1n2－1m2＜lnmn，则m，n的大小关系为________．解析：由不等式可得1n2－1m2＜lnm－lnn，即1n2＋lnn＜1m2＋lnm.设f(x)＝1x2＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－2x3＋1x＝x2－2x3.因为x∈(2，e)，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)＜f(m)，所以n＜m.答案：n＜m3．已知函数f(x)＝2x＋22，x≤1，|log2（x－1）|，x1，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－32的零点个数是________．解析：令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－32，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－32＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－32＝0，即f(t)＝2t＋32，如图①，由数形结合得t1＝0，1t22；如图②，再由数形结合得，当f(x)＝0时，x＝2，有1个解，当f(x)＝t2时，有3个解，所以y＝f[f(x)]－2f(x)－32共有4个零点．答案：44．已知函数f(x)＝xlnx，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．解：法一：分离参数法4依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤lnx＋1x在x∈[1，＋∞)恒成立，亦即a≤lnx＋1xmin，x∈[1，＋∞)．设g(x)＝lnx＋1x(x≥1)，则g′(x)＝1x－1x2＝x－1x2.令g′(x)＝0，得x＝1.当x≥1时，因为g′(x)≥0，故g(x)在[1，＋∞)上是增函数．所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1.故a的取值范围是(－∞，1]．法二：构造函数法当x＝1时，有f(1)≥a－1，即a－1≤0，得a≤1.构造F(x)＝f(x)－(ax－1)＝xlnx－ax＋1，原命题等价于F(x)≥0在x≥1上恒成立⇔F(x)min≥0，x∈[1，＋∞)．由于F′(x)＝lnx＋1－a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，因此，函数F(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F(1)＝1－a≥0，得a≤1.故a的取值范围是(－∞，1]．5．(2019·苏锡常镇一模)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx＋ax(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值；(2)设函数g(x)＝f（x）x，x∈[1，e](其中e为自然对数的底数)．①当a＝－1时，求g(x)的最大值；②若h(x)＝g（x）ex是单调递减函数，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝lnx＋x＋1x＋a，由题意知f′(1)＝a＋2＝－1，a＝－3，f(1)＝a＝－3，把(1，－3)代入x＋y＋b＝0，解得b＝2.(2)①g(x)＝1x＋1lnx－1，则g′(x)＝－lnxx2＋x＋1x2＝x－lnx＋1x2.令φ(x)＝x－lnx＋1，5则φ′(x)＝1－1x≥0，φ(x)在[1，e]上单调递增，φ(x)≥φ(1)0，∴g′(x)0，g(x)在[1，e]上单调递增，∴g(x)的最大值为g(e)＝1e.②同理，单调递增函数g(x)＝f（x）x∈a，a＋1＋1e，h(x)＝1x＋1lnx＋a·1ex.1°若a≥0，则g(x)≥0，h(x)＝1＋1xlnx＋aex，h′(x)＝－1x2lnx＋1＋xx2－1＋1xlnx－aex＝－（1＋x＋x2）lnx－ax2＋x＋1x2ex≤0，令u(x)＝－(1＋x＋x2)lnx－ax2＋x＋1，则u′(x)＝－(1＋2x)lnx－1x－(2a＋1)x0，即u(x)在[1，e]上单调递减，∴u(x)max＝u(1)＝－a＋2≤0，∴a≥2.2°若a≤－e＋1e，则g(x)≤0，h(x)＝－1＋1xlnx＋aex，由1°知，h′(x)＝－u（x）x2ex，则h′(x)≤0，u(x)≥0，又u(x)在[1，e]上单调递减，∴u(x)min＝u(e)＝－e2(a＋1)≥0，a≤－1，又a≤－e＋1e，∴a≤－e＋1e.3°若－e＋1ea0，∵g(x)＝f（x）x单调递增，∴存在唯一的x0∈(1，e)，使h(x0)＝1x0＋1lnx0＋a1ex0＝0，且当x∈[1，x0)∪(x0，e]时，h(x)0，∴h(x)在[1，e]上不单调．综上所述，a∈－∞，－1－1e∪[2，＋∞)．C组——创新应用练1．已知函数y＝f(x)(x∈R)．对于函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称6函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．解析：由于g(x)＝4－x2的图象是圆x2＋y2＝4在x轴上方的半圆(包括与x轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为y＝3x＋b1，则有b132＋（－1）2＝2，解得b1＝210，要使得h(x)g(x)恒成立，则需bb1＝210.故实数b的取值范围为(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)2．设函数f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的图象上任意一点处的切线为l1，若总存在曲线y＝g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝－ex－1，g′(x)＝3a－2sinx，在f(x)的图象上取点(x1，y1)，在g(x)的图象上取点(x2，y2)，要使l1⊥l2，需3a－2sinx2＝1ex1＋1，∵3a－2sinx2∈[3a－2，3a＋2]，1ex1＋1∈(0，1)，则只有(0，1)⊂[3a－2，3a＋2]，∴3a－2≤0，3a＋2≥1，解得－13≤a≤23.答案：－13，233．设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f′′(x)是y＝f′(x)的导函数，若方程f′′(x)＝0有实数根x0，则称点(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的“拐点”．已知任意三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f(x)＝13x3－2x2＋83x＋1，数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a8)＝________．解析：因为f(x)＝13x3－2x2＋83x＋1，所以f′(x)＝x2－4x＋83，所以f′′(x)＝2x－4，令f′′(x)＝0，解得x＝2.而f(2)＝83－8＋163＋1＝1，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，1)对称，所以f(x)＋f(4－x)＝2.因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a8＝9，所以f(a1)＋f(a8)＝2，同理可得f(a2)＋f(a7)＝2，f(a3)＋f(a6)＝2，f(a4)＋f(a5)＝2，所以f(a1)＋f(a2)＋…7＋f(a8)＝2×4＝8.答案：84.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝2，函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)2，则b＋2a＋2的取值范围是________．解析：由题图可知，当x0时，导函数f′(x)0，函数f(x)单调递增．因为两个正数a，b满足f(2a＋b)2，f(2)＝2，所以f(2a＋b)f(2)，即2a＋b2.又a0，b0，故点(a，b)所在的平面区域如图中阴影部分所示(不包括边界)，b＋2a＋2表示动点(a，b)与定点(－2，－2)连线的斜率，当连线过点(1，0)时，b＋2a＋2＝23，当连线过点(0，2)时，b＋2a＋2＝2，故b＋2a＋2的取值范围是23，2.答案：23，25．