（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（二十三） 随机变量与分布列

1课时达标训练(二十三)随机变量与分布列A组——大题保分练1．(2018·南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球．(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．解：(1)两个球颜色不同的情况共有C24·42＝96(种)．(2)随机变量X所有可能的值为0，1，2，3.P(X＝0)＝4·C2496＝14，P(X＝1)＝3·C14·C1396＝38，P(X＝2)＝2·C14·C1396＝14，P(X＝3)＝C14·C1396＝18.所以随机变量X的概率分布列为X0123P14381418所以E(X)＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝54.2．(2019·苏锡常镇一模)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．(1)问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；(2)求随机变量X的数学期望E(X)．解：∵批量较大，∴可以认为随机变量X～B(10，0.05)．(1)恰好有2件不合格的概率P(X＝2)＝C210×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率P(X＝3)＝C310×0.053×0.957，∵P（X＝2）P（X＝3）＝C210×0.052×0.958C310×0.053×0.957＝578＞1，2∴P(X＝2)＞P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(2)令p＝0.05，P(X＝k)＝pk＝Ck10pk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10.随机变量X的概率分布为X012…10PC010p0(1－p)10C110p1(1－p)9C210p2(1－p)8…C1010p10(1－p)0故E(X)＝∑10,k＝0kpk＝10×0.05＝0.5.3．(2019·南通、泰州等七市三模)现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1文章学习积分12345概率1919191612表2视频学习积分246概率161312(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．解：(1)由题意知，获得的积分不低于9分的情形有：文章学习积分3455视频学习积分6646因为两类学习互不影响，所以概率P＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59，所以每人每日学习积分不低于9分的概率为59.3(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)知每人每日学习积分不低于9分的概率为59，则P(ξ＝0)＝493＝64729；P(ξ＝1)＝C13×59×492＝80243；P(ξ＝2)＝C23×592×49＝100243；P(ξ＝3)＝593＝125729.所以随机变量ξ的概率分布为ξ0123P6472980243100243125729所以E(ξ)＝0×64729＋1×80243＋2×100243＋3×125729＝53.所以随机变量ξ的数学期望为53.4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为13，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋10的解集为R的概率．解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0，1，2，3，4，对应的未发芽的种子数为4，3，2，1，0，所以ξ的所有可能取值为0，2，4，P(ξ＝0)＝C24×132×232＝827，P(ξ＝2)＝C34×133×231＋C14×131×233＝4081，4P(ξ＝4)＝C44×134×230＋C04×130×234＝1781.所以随机变量ξ的概率分布为ξ024P82740811781数学期望E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0，2，4，当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋10，得10，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋10，得2x2－2x＋10，即2x－122＋120，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋10，得4x2－4x＋10，其解集为x≠12，不满足题意．所以不等式ξx2－ξx＋10的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝6481.B组——大题增分练1．(2018·镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分．记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．(1)求X1的数学期望；(2)求X2的分布列．解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝0，1，2，3，4.X1的可能取值为0，1，2，3，5.则P(Ai)＝Ci414i344－i，即P(A0)＝81256，P(A1)＝2764，P(A2)＝27128，P(A3)＝364，P(A4)＝1256，则X1的分布列为5X101235P812562764271283641256所以E(X1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(2)X2的可能取值为0，2，4，则P(X2＝0)＝P(A2)＝27128；P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝2764＋364＝1532；P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝81256＋1256＝41128.所以X2的分布列为X2024P271281532411282.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18，所以f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)0；6当p∈(0.1，1)时，f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX400，故应该对余下的产品作检验．3.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S＝32的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S)．解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法，其中S＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以PS＝32＝12C36＝35.(2)S的所有可能取值为34，32，334.S＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以PS＝34＝6C36＝310.S＝334的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以PS＝334＝2C36＝110.又由(1)知PS＝32＝12C36＝35，故S的分布列为S3432334P31035110所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.4．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更7有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，8所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．