七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.2 多项式的因式分解课件 苏科版

第九章整式乘法与因式分解二、多项式的因式分解教学新知用完全平方公式分解因式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2．用平方差公式分解因式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．知识要点2.会用提取公因式法进行因式分解，感受因式分解在简化计算和解方程中的作用。1.理解和体会因式分解的意义。3.掌握用平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用。4.理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式。知识梳理知识点1：因式分解的定义【例】下列由左到右的变形，是因式分解的是（）A.a（x+y）=ax+ayB.10a2-5a=5a（2a-1）C.x2-4x+5=（x-2）2+1D.t2-s2+2ts=（t-s）（t+s）+2ts【讲解】根据因式分解就是把多项式化成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．知识梳理解：A.是整式的乘法，故本选项错误；B.10a2-5a=5a（2a-1），正确；C.右边不是积的形式，故本选项错误；D.右边不是积的形式，故本选项错误．故选B.【方法小结】因式分解与整式的乘法是互逆运算，因式分解是的结果是几个整式的积的形式，可用多项式的乘法检验.【小练习】下列从左到右属于因式分解的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-9B．x2-2x+3=（x-1）2+2C．x2-6x+9=（x-3）2D．a2-5a-6=（a-2）（a-3）C知识梳理知识点2：公因式【例】指出下列多项式的公因式：（1）3a2y−3ay+6y（2）−27a2b3+36a3b2+9a2b【讲解】（1）中系数为3、—3、6的最大公约数是3，所以公因式的系数为3，有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式为3y．（2）此多项式的第一项是“—”号，应将“—”提取变为—（27a2b3—36a3b2—9a2b），多项式27a2b3—36a3b2—9a2b各项系数的最大公约数为9，且a的最低次幂为2，b的最低次幂是1，所以这个多项式的公因式为—9a2b．知识梳理解：(1）3y；（2）—9a2b【方法小结】找准公因式要“五看”即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“—”号，则公因式符号为负数．【小练习】1.多项式36a2bc﹣48ab2c+24abc2的公因式是（）A．12a2b2c2B．6abcC．12abcD．36a2b2c2知识梳理2.观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④3.多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是。【参考答案】1.C2.B3.4xmyn﹣1知识梳理知识点3：提公因式法分解因式.【例】．因式分解（1）a2b﹣5ab+9b（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2．【讲解】（1）直接提取公因式b即可；（2）由于（x﹣y）2=（y﹣x）2，先直接提取公因式（x﹣y）2，再整理即可.解：（1）a2b﹣5ab+9b=b（a2﹣5a+9）；（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2=（x﹣y）（x﹣y）2=（x﹣y）3．【方法小结】找出公因式，再分解，第（2）题转化为相同底数是求解的关键知识梳理【小练习】1.下列多项式能用提公因式法分解的是()．A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．2a2－abD．4a2－12ab＋9b22.（1）计算：a（a﹣2）；（2）分解分式：m2﹣3m．3.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）2[1+x]知识梳理=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是法，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需要应用上述方法次，分解因式后的结果是．（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程．知识梳理【参考答案】1.C2.（1）a（a﹣2）=a2﹣2a．（2）m2﹣3m=m（m﹣3）3.解：（1）根据已知可以直接得出答案：提取公因式，2；（2）2015，（1+x）2016；（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）]=（1+x）2[1+x+x（1+x）x（1+x）（n﹣2）]=（1+x）n+1．知识点梳理知识点：平方差公式分解因式.知识梳理【例】把下列各式因式分解：（1）22254nm（2）22)(121)(169baba【讲解】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解（1）＝＝22425mn22[2)(5)]mn（25)(25)mnmn（知识梳理（2）＝＝＝＝(24a＋2b)(2a＋24b)＝4(12a＋b)(a＋12b)22169()121()abab22[13)][11()]abab（[13)11()]abab（[13)11()]abab（【方法小结】掌握平方差公式的特点，注意公式中的字母具有普遍性，可以只表示一个数，也可以表示一个单项式或多项式.学习中，还要有“整体”、“代换”等思想.同时，有些多项式还要先做适当变形，使它符合公式特点后再运用公式．知识梳理【小练习】1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（-b）2B．5m2-20mnC．-x2-y2D．-x2+92.计算：1﹣4a2=3.把下列各式分解因式：（1）49𝑚2－009𝑛2（2）𝑎2𝑏4－116（3）(2a＋b)2－(a－2b)2知识梳理【参考答案】1.D2.（﹣1﹣2a）（2a﹣1）3.（1）(23𝑚+＋0.3n)(23𝑚－0.3n)（2）(𝑎𝑏2＋14)(𝑎𝑏2－14)（3）(3a－b)(a＋3b)课堂练习1.因式分解4﹣4a+a2，正确的是（）A.4（1﹣a）+a2B.（2﹣a）2C.（2﹣a）（2+a）D.（2+a）22.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4BD课堂练习3.计算：4x2﹣9y2=_____________________.4.一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为cm．5（2x+3y）（2x﹣3y）5.简便计算：(1)2919.997219.991319.9919.9914(2)43937133原式19.99(29721314)19.991001999原式39(3727)3910390课堂练习参考答案：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2=3mn（2m﹣5n+10mn）（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）=（x﹣y）（x2﹣xy﹣y）(3)yabab553(4)nmy26．把下列各式分解因式：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2；（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）;（3）15（a－b）2－3y（b－a）;（4）（m＋n）（x－y）－（m＋n）（x＋y）.课后习题1.在下列多项式中，没有公因式可提取的是（）A.3x－4yB.3x+4xyC.4x2－3xyD.4x2+3x2y2.分解8a3b2﹣12ab3c时应提取的公因式是（）A．2ab2B．4abC．ab2D．4ab2AD3.多项式24ab2－32a2b提出公因式是.4.若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝．8ab－5课后习题5.分解分式：（1）m2﹣3m；（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（3）4ab﹣a2;（4）（3x+2y+1）2﹣（3x+2y﹣1）（3x+2y+1）.参考答案：（1）m（m﹣3），（2）2x（a﹣b），（3）a（4b﹣a），（4）2（3x+2y+1）课后习题6.父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且x2－xy=1040，请你求一求父亲和儿子今年各多少岁．7.证明：32016－32015－32014能被15整除．参考答案：因为x2－xy=1040，所以x(x－y)=l040．所以26x=1040．所以x=40，y=14．所以父亲今年40岁，儿子今年14岁。参考答案：32016－32015－32014=32014×32－32014×3－32014=32014×(32－3－1)=32014×5=32013×3×5=32013×15，所以一定能被15整除．