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第七章平面图形的认识（二）二、多边形的内角和与外角和教学新知设多边形的边数为n，则n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3且为正整数）多边形内角和之间的关系：（1）多边形每增加一条边，内角和增加180°；（2）多边形的内角和一定是180°的倍数；（3）多边形的边数越多，内角和越大。所有边都相等，所有角都相等的多边形，叫正多边形。正多边形每个内角的度数：(n－2)×180°÷n。DBAEC知识要点2.通过将多边形分割成三角形，探索出多边形内角和的计算公式，能运用相关结论进行有关的推理和计算。1.理解多边形内角和的推导方法，会用多边形内角和公式求多边形的内角和。知识梳理知识点1：三角形的内角和.【例】△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,试判断△ABC的形状,并说明理由.【讲解】引用辅助量x，用x表示出△ABC的三个内角，在△ABC中，运用三角形内角和性质构造方程，解方程后，求出△ABC中最的大角∠C=90°，从而判断△ABC的形状.答案：△ABC是直角三角形.理由：∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、（2x）°、（3x）°知识梳理在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）∴x+2x+3x=180解之得：x=30∴∠C=（3x）°=90°∴△ABC是直角三角形.【方法小结】在明确三角形的三个内角关系的条件下,求三角形的内角时,常用方程思想,即运用“三角形三个内角的和等于180°”作为相等关系列方程来求角.知识梳理知识点：多边形的内角和【例】小美在计算一个多边形内角和时，漏算了一个内角，其余各内角之和为1680°那么除去的这个内角的度数为．120°【讲解】∵1680°÷180°=9…60°，又120°+60°=180°∴这个内角度数为120°．【方法小结】多边形的内角和是180°的整数倍，因此考虑用除法求得多余或者缺少的角的度数．知识梳理【小练习】1.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形B知识梳理2.如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数.3.小丽同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°.当她发现错了之后，重新检查，发现少算了一个内角，你能求出这个内角是多少度，她求的是多少边形的内角和？【参考答案】七边形。【参考答案】九边形。知识梳理知识点：多边形的外角及外角和【例】已知一个多边形的内角和比外角和多360°,求这个多边形的边数.【讲解】任意多边形的外角和都等于360°,则这个多边形的内角和等于360°+360°,利用方程思想可求出多边形的边数.【解】设这个多边形的边数为n,则它的内角和是（n-2）·180°,因为任意多边形的外角和是360°,所以得（n-2）·180°=360°+360°.解得n=6.所以，这个多边形的边数是6.知识梳理【小练习】1．（2015•重庆模拟）将一副直角三角板如图7.5-34放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）D图7.5-34A.30°B.45°C.60°D.75°知识梳理2.三角形三个外角比为3∶4∶5,则三个内角比为__________。3.（2012江苏南京中考）如图7.5-35，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=____________。3∶2∶1300°4123EDCBA图7.5-35知识梳理4．一个多边形的内角和与外角和的和为2520°，求这个多边形的边数．【参考答案】14边形．中考在线考点：三角形内角和性质.【例】（2014江苏镇江）如图7.5-5，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝_______°．ACBmn21图7.5-545°【讲解】垂线带来直角三角形，三角形三个内角的和等于180°，平行线带来相等的角(或互补的角)等等，这是根据已知角求未知角之类的问题要能够发现的信息.中考在线1.（2015四川省绵阳）如图7.5-7,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=（）.A．118°B．119°C．120°D．121°C图7.5-72．(2014湖北襄阳)如图7.5-8，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于()A．35°B．45°C．55°D．65°ADE1CAB图7.5-8中考在线3.（2014湖南益阳）如图7.5-9，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．图7.5-9【参考答案】解法一：∵EF∥BC,∴∠BAF=180°－∠B=100°.∵AC平分∠BAF,∴∠CAF=12∠BAF=50°,∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°.解法二：∵EF∥BC,∴∠BAF=180°－∠B=100°.∵AC平分∠BAF,∴∠BAC=12∠BAF=50°,∵∠C+∠B+∠BAC=180°，∴∠C=180°－（80°+50°）=50°。中考在线考点：多边形的内角和.【例】（2014山东莱芜）若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A.13B.14C.15D.16【讲解】正多边形的内角和为：°，每个内角都相等，直接代入公式，得15.选C.【方法小结】掌握多边形的内角和公式．直接代入.C中考在线中考在线1.（2015浙江省丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D七边形2.（2014•毕节地区）如图7.5-22，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）BC知识梳理图7.5-22A．13B．14C．15D．163．（2014福建厦门）四边形的内角和是．360°知识梳理4.（2014巴中）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正边形．八中考在线考点：多边形的外角和【例】（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图7.5-36所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=度．70°知识梳理图7.5-36图7.5-37知识梳理【讲解】如图7.5-37，∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．知识梳理【方法小结】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此类题的关键．【实战演练】1.（2014•昆明）如图7.5-38，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A.85°B.80°C.75°D.70°A知识梳理图7.5-382.（2015贵州省铜仁）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的个数是()A.3B.4C.5D.6D图7.5-11课堂练习1.在△ABC中,已知∠A=2∠B,∠C=3∠B,则三角形△ABC是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状无法确定2.如图7.5-11，与∠ACE互余的角的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个BC课堂练习3.若n边形的内角和是1260°，则边数n为()．A．8B．9C．10D．114.一个多边形的每一个内角都是144°,则此多边形的边数为()．A.8B.10C.12D.14BB1.在凸10边形的所有内角中，锐角的最多个数是（）A．0B．1C．3D．5C课堂练习5.一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的13，则这个多边形是（）A.正十二边形B.正十边形C.正八边形D.正六边形C6.若一个直角三角形的一锐角为20°，则另一锐角为______．70°课堂练习图7.5-247.（2013•乐山）如图7.5-24,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线ℓ与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=．225°图7.5-14课后习题1.已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于()A.40°B.60°C.80°D.90°2.如图7.5-14，三角形被遮住的两个角不可能是()A.一个锐角，一个钝角B.两个锐角C.一个锐角，一个直角D.两个钝角AD课后习题3.一个三角形的3个内角中，最多能有_______个直角；最多能有_______个钝角；最少有_______个锐角（）．A.1，1，1B.1，2，1C.2，1，1D.2，2，24.某多边形的内角和是其四边形内角和的3倍，则此多边形的边数是（）．A．5B．6C．7D．8BD课后习题5.（2014•来宾）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形6.如图7.5-26，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为()A．4πB．2πC．πD．无法确定AC