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第六章概率初步初中数学（北师大版）七年级下册知识点一等可能事件发生的概率设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能性相同,那么我们就称这个试验的结果是等可能的.如掷硬币、掷骰子等试验都属于等可能事件.一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A的概率为P(A)= .例1一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球.若红球个数是黑球个数的2倍多40个.从袋中任取一个球是白球的概率是 .mn129(1)求袋中红球的个数;(2)求从袋中任取一个球是黑球的概率.解析(1)设黑球的个数为x,则红球的个数是(2x+40),由题意得,x+2x+40+290× =290,解得x=80,2x+40=160+40=200.答:袋中红球的个数为200.(2)由(1)知,黑球的个数为80,则 = .答:从袋中任取一个球是黑球的概率是 .12980290829829知识点二游戏的公平性与游戏的设计1.游戏规则的公平性游戏是否公平是指双方获胜的可能性是否相同,只有当双方获胜的可能性相同(等可能事件发生的概率相同)时,游戏才公平,否则游戏不公平.注意:游戏对双方公平并不是说每一方获胜的概率均为 ,只要游戏双方获胜的可能性(概率)相同即可.2.按要求设计游戏设计游戏是根据要求定好的规则解决具体问题,实际就是计算概率的逆向应用.这类题是近几年中考的新题型.设计游戏需注意:(1)必须保证游戏中出现的各类事件是等可能的.(2)设计公平游戏时,要使随机事件发生的概率相同,设计不公平游戏时,随机事件发生的概率不相同.12例2一个转盘被等分成6个扇形,如图6-3-1.你能否在转盘上涂上适当的颜色,使得自由转动这个转盘,当它停止转动时,分别满足以下的条件: 图6-3-1(1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同;(2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率.你能设计一个方案,使得以上两个条件同时满足吗?分析因为这个转盘被等分成6个扇形,并且能够自由转动,因此指针落在6个区域的可能性即概率相同.根据概率的计算公式就可得出结论.本题是一个开放题,答案不唯一.解析(1)只需涂红色和涂黄色的区域的面积相同即可;(2)只需涂蓝色区域的面积大于涂红色的即可.若要以上两个条件同时满足,则需涂红色和涂黄色的区域面积相同,且小于涂蓝色区域的面积即可.方案:4个扇形涂成蓝色,1个扇形涂成红色,1个扇形涂成黄色.知识点三几何图形中的概率在与图形有关的概率问题中,概率的大小往往与面积有关,这种类型的概率称为几何概率.在几何事件中,某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.如P(小猫停留在黑砖上)= .再比如转盘游戏中,在一个被等分成n个区域的几何图形上做一个试验时,试验结果发生在每个区域内的黑砖总面积地砖总面积可能性一样,即发生在n个区域中每一个区域内的概率均为 .1n例3一张写有密码的纸片被随意地埋在如图6-3-2所示的矩形区域内(每个方格大小一样).(1)埋在哪个区域的可能性大?(2)分别计算出埋在三个区域内的概率;(3)埋在哪两个区域的概率相同? 图6-3-2解析(1)埋在“2”号区域的可能性大.(2)P(埋在“1”号区域)= ;P(埋在“2”号区域)= = ;P(埋在“3”号区域)= .(3)埋在“1”号和“3”号区域的概率相同.知识点四转盘问题中的概率指针停留在某扇形内的概率等于该扇形的面积除以圆的面积,等于扇形所占圆的份数除以总份数,也等于扇形的圆心角的度数除以360°,即P(指针停留在某扇形内)= = = .14241214SS扇形圆扇形所占圆的份数总份数360扇形的圆心角度数例4如图6-3-3,一个正六边形转盘被分成6个全等三角形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是 () 图6-3-3A. B. C. D. 16141312解析转盘被均匀地分成6份,阴影部分占2份,转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是 = .故选C.2613答案C题型设计符合要求的数学模型例如图6-3-4所示,准备了三张大小相同的纸片,其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆,另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在一个盒子里摇匀,随机地抽取两张纸片,若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形),则甲赢;若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张纸片画有正方形),则乙赢.你认为这个游戏对双方是公平的吗?若不是,有利于谁? 图6-3-4分析通过计算拼成圆形和拼成蘑菇形的概率来判断游戏是否公平.解析P(拼成圆形)= ,P(拼成蘑菇形)= ,∴拼成蘑菇形的概率大于拼成圆形的概率,故游戏不公平,有利于乙.点拨设计符合要求的数学模型一定要有“预见性”,能预见到模型设计好后的概率是否符合题目要求.设计完数学模型后,要验算一下所设计的数学模型是否符合题目要求.1323易错点没有弄清“部分”与“全部”的区别例小华用如图6-3-5的转盘设计了一个游戏:指到红色、甲胜;指到黄色,乙胜,这个游戏公平吗?为什么? 图6-3-5错解认为转盘有2种颜色,转出每种颜色的可能性都一样,所以游戏公平.错因分析没注意到红色部分和黄色部分的面积不相等.正解指到红色的概率是 = ,指到黄色的概率为 = ,∴游戏不公平.46232613在转盘问题中感知数学建模素养解读数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验,同学们能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识.典例剖析例某商场柜台为了吸引顾客,打出的小广告如下:本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱,特举行购物抽奖活动,中奖率100%,最高奖50元.具体方法是:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准黄、红、绿、白色区域,顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券(如图6-3-6所示的转盘被等分成16份).请根据以上信息,解答下列问题: 图6-3-6(1)小亮的妈妈购物150元,她获得50元、5元购物券的概率分别是多少?(2)请在转盘的适当地方涂上某种颜色,使得自由转动这个转盘,当它停止转动时,指针落在某一区域的事件发生概率为 ,并说出此事件.38解析(1)转盘被等分成16份,黄色占1份,白色占11份,所以获得50元、5元购物券的概率分别是 , .(2)指针落在某一区域的事件发生概率为 ,则16× =6块,根据等级越高,中奖概率越小的原则,应涂绿色(图略),事件为获得10元购物券.11611163838素养呈现本题要从生活中的转盘游戏中构建数学模型.对实际问题进行数学抽象,用数学知识解决转盘问题.要明确,转盘被等分成16份,自由转动过程中,指针指向每一份的可能性都相同,从而求出概率.知识点一等可能事件发生的概率1.(2015四川遂宁中考)一个不透明的布袋中,放有3个白球,5个红球,它们除颜色外完全相同,从中随机摸取1个,摸到红球的概率是 ()A. B. C. D. 58153813答案AP(摸到红球)= = .535582.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同,其中有红球4个,绿球5个,从中任意摸出一个球是绿色的概率是 .求:(1)口袋里黄球的个数;(2)任意摸出一个球是黄球的概率.14解析(1)口袋里共有球5÷ =20(个),所以口袋里有黄球20-(5+4)=11(个).(2)P(任意摸出一个球是黄球)= .141120知识点二游戏的公平性与游戏的设计3.桌子上有7张卡片,分别写着1~7的数字,背面朝上,如果摸到单数,小丽赢,如果摸到双数,小明赢.(1)这个游戏公平吗?为什么?(2)小明一定会输吗?为什么?(3)请你设计一个公平的游戏方案.解析(1)因为1~7这7个数中,单数有1,3,5,7,一共有4个,双数有2,4,6,一共有3个,43,所以双方的机会不是均等的,这个游戏不公平.(2)因为小明赢的概率是3÷7= ,所以小明不一定会输.(3)增加一张双数或减少一张单数,如果摸到单数,小丽赢,如果摸到双数,小明赢.37知识点三几何图形中的概率4.如图6-3-1所示,正方形花园ABCD中,AE=2米,BE=4米.一只小鸟任意落下,求它落在阴影区域的概率. 图6-3-1解析由题意得S正方形ABCD=(2+4)2=36平方米,S阴影=4×2+2×4=16平方米,P(小鸟落在阴影区域)= = .163649知识点四转盘问题中的概率5.图6-3-2是三个可以自由转动的转盘,分别计算转盘停止后指针落在A区域的概率. 图6-3-2解析P(指针落在A区域)= .P(指针落在A区域)= = .P(指针落在A区域)= = .141003605186621231.如图,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,则飞镖落在白色区域的概率是. 答案 12解析从图形上观察可得白色区域的面积是整个圆的面积的一半,所以飞镖落在白色区域的概率是 .122.(2015四川南充中考)从分别标有数-3,-2,-1,0,1,2,3的七张卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是.答案 37解析|-3|=3,|-2|=2,|-1|=1,|0|=0,|1|=1,|2|=2,|3|=3,所抽卡片上数的绝对值小于2的有3张,所以所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 .373.小颖和小明做游戏:一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球,每个球上分别标有1,2,2,3,4,5,从袋中任意摸出一个球,然后放回.规定:如果摸到的球上所标数字大于3,则小颖赢,否则小明赢.你认为这个游戏公平吗?如果不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.解析游戏不公平.理由如下:∵摸到的球上所标数字大于3的概率是 = ,摸到的球上所标数字不大于3的概率是 = ,∴小明赢的概率大,故游戏不公平.修改规则如下:方法一:如果摸到的球上所标数字小于3,则小颖赢;否则小明赢.方法二:如果摸到的球上所标数字是偶数,则小颖赢,否则小明赢.261346231.小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图6-3-3所示的靶子,点E、F分别是长方形ABCD的两边AD、BC上的点,且EF∥AB,点M、N是EF上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是 () 图6-3-3A. B. C. D. 13231234答案C由题意得S阴影=S长方形ABCD-S△AMB-S△CND=AB·AD- AB·AE- CD·ED=AB·AD- AB·(AE+ED)= AB·AD,∴P(飞镖落在阴影部分)= = .12121212ABCDSS阴影长方形122.如图6-3-4,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 () 图6-3-4A. B. C. D. 47372717答案A要从7个空白小正方形中选1个涂上阴影,共有7种等可能结果,其中符合要求的有4种结果,所以所求概率是 ,故选A.473.小明和小红做如下游戏:任意掷出两枚均匀且完全相同的硬币,若朝上的面相同,则小明获胜;若朝上的面不同,则小红获胜.小红认为:朝上的面相同有“两个正面”和“两个反面”两种情况;而朝上的面不同只有“一正一反”一种情况,因此游戏对双方不公平,你认为呢?解析对两枚硬币的正、反两面朝上的情况,可作如下分析:每枚硬币都有正与反两种情况.当第一枚出现正时,与第二枚的正、