七年级数学下册 第4章 三角形 4.5 利用三角形全等测距离课件 （新版）北师大版

第四章三角形初中数学（北师大版）七年级下册知识点利用三角形全等测距离测量距离 例小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米,如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米? 图4-5-1分析根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB求出楼高.解析因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=∠APB=54°.在△CPD和△PAB中,因为∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=∠APB,所以△CPD≌△PAB(ASA),所以DP=AB.由DB=36米,PB=10米,得AB=DP=36-10=26(米).即楼高AB是26米.题型实际应用题例如图4-5-2所示,某湖泊岸边有A、B两棵大树,计划在两棵大树间架一条电话线路,为了计算两棵大树能承受的压力,需测量出A、B之间的距离,但是A、B两地又不能直接到达,请你用学过的知识设计一个测量方案,求出A、B之间的距离,写出你的测量方案. 图4-5-2解析测量方案如下:如图4-5-3,连接AB,在湖泊岸边找一点C,连接AC,BC,并延长,截取CD=BC,EC=AC,连接DE. 图4-5-3在△ABC和△EDC中,,,,ACECACBECDBCDC∴△ABC≌△EDC(SAS),∴AB=ED,∴量出ED的长即可得到A、B之间的距离.点拨利用三角形全等来测量距离(或角度),实际上就是利用已有的全等三角形或构造出的全等三角形,通过全等三角形的对应边相等(或对应角相等)这一性质,把较难测量长度的线段(或较难测得的角)转化成已知线段(或已知角)或是较容易测得长度的线段(或是较容易测得的角).运用直观想象构造全等三角形素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.典例剖析例(2018河南漯河临颍月考)如图4-5-4所示,已知一池塘宽为AB.请你运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量AB的方案,并说明理由. 图4-5-4解析答案不唯一,提供以下方案,任选一种即可.方案一:如图4-5-5①,先在平地取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A,B间的距离. 图4-5-5理由:在△ABC和△DEC中,∵ ∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=ED.方案二:如图4-5-5②,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,得出∠BDA的大小,在AB的延长线上取一点C,使∠BDC=∠BDA,这时只要测出BC的长即为A,B间的距离.理由:在△ABD和△CBD中,∵ ∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AB=BC.,,,ACDCACBECDBCEC90,,,ABDCBDBDBDADBCDB素养呈现本题以测量池塘宽度为背景,通过构造全等三角形,利用全等三角形的判定和性质来测量池塘的宽.解决本题的关键是利用全等三角形的判定方法,根据选取的判定方法合理设计方案,从而使问题得以解决.方案一选择“SAS”构造全等三角形,方案二选择“ASA”构造全等三角形.知识点利用三角形全等测距离1.如图4-5-1,将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起,使AA'、BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽AB的长,那么判定△AOB≌△A'OB'的理由是 () 图4-5-1A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边答案A因为OA=OA',OB=OB',∠AOB=∠A'OB',所以根据“SAS”可判定△AOB≌△A'OB'.2.如图4-5-2,小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和E.C、E、A三点在同一直线上,B、C相距20米,D、C相距40米,乙楼高BE为15米,小明的身高忽略不计,则甲楼高AD为 () 图4-5-2A.40米B.20米C.15米D.30米答案D过E作EF⊥AD,垂足为F,则EF∥CD,∴∠C=∠AEF,又∵∠AFE=∠EBC=90°,FE=BD=CD-BC=40-20=20米=BC,∴△EBC≌△AFE,∴AF=BE.∴AD=AF+FD=2BE=2×15=30米.1.如图所示,要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B点出发沿与AB成90°角的方向走50m到C点立一根标杆,然后方向不变继续走50m到D点,在D点转90°沿DE方向再走17m,到达E点,使A、C、E三点在同一条直线上,那么得A、B两点的距离为. 答案17m解析由题意易得△ABC≌△EDC,则AB=DE=17m.2.如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35cm,B点与O点的铅直距离AB长是20cm,工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35cm,画CD⊥OC,使CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是为什么呢?请你说出理由. 解析因为OC=35cm,墙壁厚OA=35cm,所以OC=OA.因为墙体是竖直的,所以∠OAB=90°.又因为CD⊥OC,所以∠OAB=∠OCD=90°.在△OAB和△OCD中,因为∠OAB=∠OCD=90°,OC=OA,∠AOB=∠COD,所以△OAB≌△OCD(ASA),所以AB=DC.因为DC=20cm,所以AB=20cm.所以钻头正好从B点处打出.3.在新修的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,如图,AB∥CD,在AB、BC、CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中点,E、M、F在一条直线上.若在凉亭M与F之间有一池塘,在用皮尺不能直接测量的情况下,你能知道M与F之间的距离吗?试说明理由. 解析能,测出M与E之间的距离就知道了M与F之间的距离.理由如下:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵M是BC的中点,∴BM=MC,在△EBM和△FCM中, ∴△EBM≌△FCM,∴ME=MF.,,,EBFCBCBMCM1.如图4-5-3,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸线.一轮船离开码头,计划沿∠ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线?请说明理由. 图4-5-3解析此时轮船没有偏离航线.理由:由题意知,DA=DB,AC=BC,在△ADC和△BDC中, 所以△ADC≌△BDC(SSS),所以∠ADC=∠BDC.所以DC为∠ADB的平分线.所以此时轮船没有偏离航线.,,,DADBACBCDCDC2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在另一岸边确定点C,使C,A,B三点在同一条直线上,再在AC的垂直方向上作线段CD,取CD的中点O,然后过点D作DF⊥CD,使F,O,A三点在同一条直线上,在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一条直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离,你能说出同学们这样做的根据吗?图4-5-4解析能.∵AC⊥CD,FD⊥CD,∴∠C=∠D=90°.在△AOC和△FOD中, ∴△AOC≌△FOD(ASA),∴OA=OF,∠A=∠F.在△AOB和△FOE中, ∴△AOB≌△FOE(ASA),∴AB=FE,即EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离.,,,AOCFODCODOCD,,,AFOAOFAOBFOE1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,德军在莱茵河对岸Q处,如图所示,因不知河宽,法军的大炮很难准确射击对岸的德军兵营,聪明的拿破仑站在河岸的O点,调整了自己的帽子,使视线恰好擦过帽舌边缘看到对岸德军的兵营Q处,然后他保持姿势一步一步后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚才站到的O点,让士兵测量他站在B点和O点之间的距离,并下令按这个距离开炮.这样法军能命中目标吗?为什么? 解析法军能命中目标.理由如下:由题意知AB=PO,∠BAO=∠OPQ.∵AB⊥BO,PO⊥BO,∴∠ABO=∠POQ=90°.在△ABO与△POQ中, ∴△ABO≌△POQ(ASA),∴BO=OQ.∴按BO的距离炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军能命中目标.,,90,BAOOPQABPOABOPOQ一、填空题1.(2017山东青岛胶州期末,17,★☆☆)如图4-5-5,小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,则DE的长度就是AB的长,理由是根据(用简写形式即可),可以得到△ABC≌△DEC,从而由全等三角形的对应边相等得出结论.图4-5-5答案边角边(或SAS)二、解答题2.(2016陕西兴平期末,24,★☆☆)如图4-5-6,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A、C、E三点在同一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长,请说明理由.图4-5-6解析理由如下:在△ABC和△EDC中,∵∠ABC=∠EDC,BC=CD,∠ACB=∠ECD,∴△ABC≌△EDC,∴DE=AB.即DE的长就是AB的长.(2016甘肃白银期末,26,★★☆)如图是一座大楼相邻的两面墙,现需测量外墙根部两点A、B之间的距离(人不能进入墙内测量).请你按以下要求设计一个测量A、B之间距离的方案.(1)画出测量图案;(2)写出方案步骤;(3)说明理由. 解析(1)图略.(2)延长BO到D,使BO=DO,延长到AO到C,使AO=CO,连接DC,则DC的长就是A、B之间的距离.(3)在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD,∴AB=DC,故DC的长就是A、B之间的距离.,,,AOCOAOBCODBODO选择题(2015浙江绍兴中考,7,★☆☆)如图4-5-7,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ()A.SASB.ASAC.AASD.SSS图4-5-7答案D因为在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故选D.(2013云南红河中考,16,★☆☆)如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.试说明:AD=CF. 解析∵E是AC的中点,∴AE=CE.∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.在△ADE与△CFE中,∵ ∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.,,,ADEFAECFAECE图4-5-8是一张简易木床的侧面图,现要钉上两根木条以确保其坚固耐用,木条AB已经钉上了,如果为了美观,要求木条EF与木条AB等长,那