七年级数学下册 第4章 三角形 4.2 图形的全等课件 （新版）北师大版

第四章三角形初中数学（北师大版）七年级下册知识点一全等图形定义判定依据全等图形能够完全重合的两个图形叫做全等图形(1)形状相同;(2)大小相等知识详解(1)“全等”用符号“≌”表示,其中“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同、大小相等,即“全等”.(2)全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不是图形所在的位置,即把两个图形叠合在一起,看是否能够完全重合,能够完全重合则为全等图形.(3)两个全等图形的面积一定相等,但面积相等的两个图形不一定全等例1如果我们规定形状和大小相同的图形是好朋友,你能帮它们迅速找到自己的好朋友吗?(如图4-2-1)  图4-2-1分析判断两个图形是不是全等图形,取决于这两个图形能否完全重合.全等图形的形状与大小是相同的.解析A与I;B与J;C与G;D与F;E与H.知识点二全等三角形1.全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.2.表示方法:用符号“≌”来表示两个三角形全等.符号“≌”读作“全等于”.注意:(1)在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.(2)寻找对应边和对应角的常用方法:对应角:①对应边所对的角是对应角;②两条对应边所夹的角是对应角;③有公共角,一定是对应角;④有对顶角,一定是对应角;⑤最大的角是对应角,最小的角是对应角.对应边:①对应角所对的边是对应边;②两个对应角所夹的边是对应边;③有公共边,一定是对应边;④最长的边是对应边,最短的边是对应边.3.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.如图4-2-2,由于△ABC≌△A'B'C',所以∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C';AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'. 图4-2-2注意:(1)此性质是证明有关边、角的等量关系的重要依据.(2)由全等的定义还可得出全等三角形的周长相等、面积相等这一隐含性质.例2如图4-2-3所示,△ABC≌△DCB,指出所有的对应边和对应角. 图4-2-3分析方法一:已知△ABC≌△DCB,故公共边BC和CB是对应边,它们所对的∠A和∠D是对应角,最短边AB和DC是对应边,它们所对的∠ACB和∠DBC是对应角,余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.方法二:根据书写规范可知点A和点D,点B和点C,点C和点B是对应顶点,两组对应顶点的夹边是对应边,对应边所对的角是对应角.解析AB与DC,AC与DB,BC与CB是对应边;∠ABC与∠DCB,∠A与∠D,∠ACB与∠DBC是对应角.题型利用全等三角形的性质解决全等变换问题例如图4-2-4,将长方形ABCD沿DE折叠,使点C恰好落在BA边上的点C'处,若∠C'EB=40°,求∠EDC'的度数. 图4-2-4分析由于折叠前的△DEC与折叠后的△DEC'完全重合,因此它们全等,得到∠DEC'=∠DEC,∠DC'E=∠C=90°.可先求出∠DEC'的度数,再求∠EDC'的度数.解析由题意,得△DEC≌△DEC',∴∠DEC'=∠DEC,∠DC'E=∠C=90°.∵∠C'EB+∠DEC'+∠DEC=180°,∠C'EB=40°,∴∠DEC'= =70°.在△DEC‘中,∠EDC’=180°-∠DC‘E-∠DEC’=180°-90°-70°=20°.180402点拨平移、翻折、旋转都是图形的全等变换,利用任何一种全等变换所得的新图形都与原图形全等,有了全等就可以利用相关的性质得到相等的线段和相等的角,进而解决与线段、角有关的计算和证明问题.一定要明确全等变换的方法,找出新图形与原图形的对应关系,避免得到错误的结论.易错点不能准确找出全等三角形的对应边和对应角例如图4-2-5,△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边,请写出另一组对应边和对应角. 图4-2-5错解另一组对应边是AC和AC;对应角有∠BAC和∠DAC,∠B和∠D,∠BCA和∠ACD.错因分析没有弄清楚图形中哪些角是两个图形的对应角.正解另一组对应边是AC和AC;对应角为∠BAC和∠ACD,∠B和∠D,∠BCA和∠DAC.知识点一全等图形1.对于两个图形,给出下列说法:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能得到这两个图形全等的说法共有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个答案A①周长相等的两个图形不一定重合,所以不一定全等;②如果面积相同而形状不同也不全等;③如果周长相同面积相同而形状不同,则不全等;④两个图形的形状相同,大小也相等,则二者一定完全重合,则这两个图形全等.故选A.2.图4-2-1(1)~(12)中全等的图形是;;;;;.(填图形的序号) 图4-2-1答案(1)和(11);(2)和(10);(3)和(6);(4)和(7);(5)和(8);(9)和(12)知识点二全等三角形3.如图4-2-2,如果△ABC和△CDA是全等三角形,那么一定是一组对应边的是 () 图4-2-2A.AB和CDB.AC和ACC.AD和CBD.AD和DC答案BAC是两个三角形的公共边,所以一定是两个全等三角形的对应边,其他对应边不能确定.4.(2016四川成都中考)如图4-2-3,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B=°. 图4-2-3答案120解析∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=24°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°.5.如图4-2-4,将长方形纸片ABCD(ADAB)沿AM折叠,使D点落在BC上(与点N重合),如果AD=10cm,DM=8.4cm,∠DAM=40°,则AN=cm,∠NAB=. 图4-2-4答案10;10°解析由折叠知△ANM≌△ADM,∴AN=AD=10cm,∠NAM=∠DAM=40°,∴∠NAB=90°-∠NAM-∠DAM=90°-40°-40°=10°.1.观察下列图形,其中是全等图形的是 () 答案A全等图形不受位置摆放的限制.2.下列叙述:①能够完全重合的两个图形一定是全等图形;②全等图形的面积一定相等;③两个周长相等的图形一定是全等图形.其中正确的个数是 ()A.0B.1C.2D.3答案C①②正确,故选C.3.如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是 () A.1B.2C.3D.4答案CAC和AF,EF和BC分别是对应边,所以AC=AF,EF=BC,因此①③正确.因为∠BAC和∠EAF是对应角,所以∠BAC=∠EAF,所以∠EAB=∠FAC,因此④正确.易知②错误.4.(2016重庆云阳盛堡初级中学月考)如图,若△ABE≌△ACF,且AB=7,AE=3,则EC的长为 () A.3B.4C.4.5D.5答案B因为△ABE≌△ACF,所以AC=AB=7,又因为AE=3,所以EC=AC-AE=7-3=4,故选B.1.(2018山东临沂月考)如图4-2-5,已知△ABC≌△CDE,那么下列结论中,不正确的是 () 图4-2-5A.AC=CEB.∠BAC=∠ECDC.∠ACB=∠ECDD.∠B=∠D答案C∵△ABC≌△CDE,∴∠ACB=∠CED,AC=CE,∠BAC=∠ECD,∠B=∠D,∴C选项中∠ACB=∠ECD是错的.故选C.2.(2018甘肃武威凉州期末)如图4-2-6,△ABC≌△A'B'C,∠ACB=90°,∠A'CB=20°,则∠BCB'的度数为 () 图4-2-6A.20°B.40°C.70°D.90°答案C∵△ACB≌△A'CB',∴∠ACB=∠A'CB',又∠ACB=90°,∠A'CB=20°,∴∠BCB'=∠A'CB'-∠A'CB=70°.故选C.3.(2018福建龙岩上杭期中)如图4-2-7,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是. 图4-2-7答案5解析∵BE=4,AE=1,∴AB=BE+AE=4+1=5,∵△ABC≌△DEF,∴DE=AB=5.故答案为5.4.如图4-2-8,∠C=∠CAM=90°,AC=8,BC=4,P、Q两点分别在线段AC和射线AM上运动,且PQ=AB.若△ABC与△PQA全等,则AP的长度为. 图4-2-8答案8或4解析当△ABC≌△PQA时,AP=AC=8;当△ABC≌△QPA时,AP=BC=4,故答案为8或4.1.已知△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,若△DEF的周长为偶数,则EF的取值为 ()A.3B.4C.5D.3或4或5答案B∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC.∵AB=2,AC=4,∴4-2BC4+2,即2BC6,又由已知得EF的长为整数,∴EF=BC=3或4或5,又∵△DEF的周长为偶数,所以EF=4.故选B.2.已知△ABC的三边长分别为7,5,3,△DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3,若这两个三角形全等,则x=.答案3解析∵△ABC与△DEF全等,∴3x-2=7且2x-1=5,此时x=3,或3x-2=5且2x-1=7,此时不存在满足条件的x.故答案为3.一、选择题1.(2018广东河源正德中学段考,7,★☆☆)已知△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠E=40°,则∠F等于 ()A.80°B.40°C.60°D.120°答案C∵△ABC≌△DEF,∴∠D=∠A=80°,∴∠F=180°-∠D-∠E=180°-80°-40°=60°.二、填空题2.(2018江苏宝应城郊中学期末,16,★★☆)如图4-2-9,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G,若∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,则∠DGB=. 图4-2-9答案70°解析∵∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,∴∠AFB=180°-(∠B+∠CAB+∠DAC)=86°,∴∠GFD=∠AFB=86°.∵△ABC≌△ADE,∴∠D=∠B=24°,∴∠DGB=180°-∠D-∠GFD=70°.1.(2018山东潍坊寿光期末,7,★★☆)如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到Rt△DEF,则下列结论中,错误的是 () A.BE=ECB.BC=EFC.AC=DFD.△ABC≌△DEF答案A∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF,∴BC=EF,AC=DF,∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF,∴只有选项A是错误的,故选A.2.(2017河南周口太康期中,12,★★☆)已知△ABC≌△DEF,BC=EF=5cm,△ABC的面积是20cm2,那么△DEF中EF边上的高是cm.答案8解析∵△ABC≌△DEF,BC=EF=5cm,△ABC的面积是20cm2,∴ BC·h=20(h为△ABC中BC边上的高),∴h=8cm,则△DEF中EF边上的高是8cm.123.(2018吉林四平伊通期末,16,★★★)如图,A、C、N三点在同一直线上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△MNC≌△ABC,则∠BCM∶∠BCN=. 答案1∶4解析∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°.∵△MNC≌△ABC,∴∠N=∠ABC=50°,∠M=∠A=30°,∴∠MCA=∠M+∠N=80°,∴∠BCM=20°,∠BCN=80°,∴∠BCM∶∠BCN=1∶4.一、选择题1.(2016福建厦门中考,3,★☆☆)如图4-2-10,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE= () 图4-2-10A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB答案A∵△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,∴∠DCE=∠B,故选A.二、填空题2.(2015广西柳州中考,14,