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第四章三角形初中数学（北师大版）七年级下册第四章三角形知识点一三角形的有关概念1.三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的基本要素:组成三角形的三条线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边夹的角叫做三角形的内角.3.三角形的符号表示:三角形用符号“△”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.一般地,△ABC的三边用a、b、c表示时,∠A所对的边BC用a表示;∠B所对的边AC用b表示;∠C所对的边AB用c表示.4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.三边都相等的三角形是等边三角形.例1如图4-1-1所示,图中共有多少个三角形?请把它们分别表示出来. 图4-1-1分析因为所有三角形都有一条边在BC上,所以要数清三角形的个数,其实只要数清线段BC上共有多少条线段就行了.解析共有6个三角形,分别是△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC.知识点二三角形三个内角之间的关系1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.3.三角形按角分类::::直角三角形有一个角是直角的三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形钝角三角形有一个角是钝角的三角形温馨提示按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数,若最大内角为锐角,则该三角形为锐角三角形;若最大内角为直角,则该三角形为直角三角形;若最大内角为钝角,则该三角形为钝角三角形.4.表示方法:通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”.直角所对的边叫做直角三角形的斜边,夹直角的两条边叫做直角边.如图4-1-2所示.图4-1-2性质:直角三角形的两个锐角互余.如在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°.例2根据下列所给条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°;(2)∠C=110°;(3)∠C=90°;(4)AB=BC=3,AC=4.分析根据三角形的分类标准进行判断.若已知的是角,则按角的分类标准去判断.若已知的是边,则按边的分类标准去判断.解析(1)因为∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°,所以∠A∠B∠C90°.所以△ABC是锐角三角形.(2)因为∠C=110°90°,所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°,所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=3,AC=4,所以△ABC是等腰三角形.知识点三三角形的三边关系文字叙述数学语言理论依据图形三角形的三边关系内容三角形任意两边的和大于第三边在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a+bc,b+ca,a+cb两点之间,线段最短 三角形任意两边的差小于第三边在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a-bc,b-ca,c-ab应用(1)判断三条线段能否组成三角形.(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围知识详解(1)三角形第三边的取值范围:两边之差的绝对值第三边两边之和.(2)三角形两边之和是指任意两边的和,应用时通常取两条较短边的和与第三边作比较.(3)三角形两边之差是指任意两边的差,应用时通常取最大边与最小边的差与第三边作比较.(4)三角形三边关系的运用可判断已知的三条线段a,b,c能否构成一个三角形.判断的方法有三种:a.当a+bc,b+ca,a+cb都成立时,a,b,c可构成三角形;b.当|a-b|ca+b时,a,b,c可构成三角形;c.当a最长,且b+ca时,a,b,c可构成三角形例3(2017江苏扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是 ()A.6B.7C.11D.12解析设第三边的长为x,∵三角形两边的长分别是2和4,∴4-2x2+4,即2x6.则三角形的周长C满足8C12,C选项符合题意,故选C.答案C知识点四三角形的高、中线和角平分线三角形的高三角形的中线三角形的角平分线定义如图,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 如图,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 如图,画∠BAC的平分线AD交∠BAC所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线 推理语言∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC= BC∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC用途举例(1)得到线段垂直;(2)得到角相等(1)得到线段相等;(2)得到面积相等得到角相等线段的位置锐角三角形三条高全在三角形内三条中线全在三角形内三条角平分线全在三角形内直角三角形一条高在三角形内,另外两条与两直角边重合钝角三角形三角形内一条,三角形外两条1212线段(或其所在直线)的交点位置锐角三角形交点在三角形内三条中线交于三角形内一点(这一点称为三角形的重心)交点在三角形内直角三角形交点在直角顶点处钝角三角形交点在三角形外共同点每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线)都分别交于一个点,它们都是线段知识拓展(1)由三角形的高与三角形一边的垂线都能得到直角,但本质不同,三角形的高是一条线段,而三角形一边的垂线是一条直线.(2)三角形的中线是一条线段,它把三角形分成两个面积相等的小三角形.(3)三角形的角平分线是一条线段,而角的平分线是一条射线例4(2018浙江湖州吴兴期中)如图4-1-3,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有 ()①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH是△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高. 图4-1-3A.1个B.2个C.3个D.4个解析①根据三角形的角平分线的概念知AG是△ABE的角平分线,故①错误;②根据三角形的中线的概念知BG是△ABD的边AD上的中线,故②错误;③根据三角形的高的概念知CH为△ACD的边AD上的高,故③正确;④根据三角形的角平分线和高的概念知AH是△ACF的角平分线和高线,故④正确.故选B.答案B题型一三角形三边关系的实际应用例1如图4-1-4所示,在小河的同侧有A,B,C三个村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A村送信到B村,总是走经过C村的道路,不走经过D村的道路,这是为什么呢?请你利用你所学的数学知识说明理由.图4-1-4解析如图4-1-5,延长AC交BD于点E,由三角形的三边关系可知,在△ADE中,AD+DEAC+CE.①在△CBE中,CE+BEBC.②由①和②得AD+DE+BE+CEAC+BC+CE.所以AD+BDAC+BC.图4-1-5点拨(1)实际问题首先需要抽象为几何模型,为此,视村庄为点,道路为线,路程的长短用线段和的不等关系表示.(2)解决几条线段间的不等关系,应利用三角形的三边关系,为此,连接AB,得BD+DAAB,CA+CBAB,但仍无法得出结论,故可考虑构造另外的三角形,找到所要说明的线段之间的关系.例2如图4-1-6所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且△ABC的面积是4cm2,则阴影部分的面积等于 () 图4-1-6A.2cm2B.1cm2C.0.25cm2D.0.5cm2题型二三角形的中线与面积解析∵点F是CE的中点,∴BF是△BCE的中线,∴S△BEF= S△BEC,同理得S△BDE= S△ABD,S△EDC= S△ADC,∴S△EBC= S△ABC,∴S△BEF= S△ABC,又S△ABC=4cm2,∴S△BEF=1cm2,即阴影部分的面积为1cm2.1212121214答案B点拨三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形.易错点对三角形高的概念掌握得不好例已知在钝角△ABC中,∠A为钝角,作出△ABC的高BD.错解如图4-1-7. 图4-1-7错因分析没有弄清楚三角形的高的概念.正解如图4-1-8.图4-1-8知识点一三角形的有关概念1.下列4个图形都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是 () 答案C按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的图形,只有C中的图形是三角形.2.图4-1-1中有几个三角形?将它们分别表示出来,并指出它们的顶点和边. 图4-1-1解析题图中有3个三角形,可分别表示为△ABC、△ABE、△AEC.△ABC的顶点是A、B、C,边是AB、BC、CA;△ABE的顶点是A、B、E,边是AB、BE、AE;△AEC的顶点是A、E、C,边是AE、EC、AC.知识点二三角形三个内角之间的关系3.(2017广西南宁中考)如图4-1-2,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于 () 图4-1-2A.100°B.80°C.60°D.40°答案B由三角形内角和定理得,∠C=180°-∠A-∠B=80°,故选B.4.(2017四川巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是 ()A.锐角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形答案D设三个内角的度数分别为x,2x,3x,根据三角形内角和定理得x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴三个内角的度数分别为30°,60°,90°,则这个三角形为直角三角形,故选D.知识点三三角形三边的关系5.(2017江苏淮安中考)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是 ()A.14B.10C.3D.2答案B设第三边长为x,则8-5x5+8,即3x13,选项中符合条件的是10,故选B.6.以下面各组长度的线段为边,能组成等腰三角形的是 ()A.2、2、4B.3、4、5C.4、5、5D.6、6、20答案CA.2+2=4,不能构成三角形;B.3+45,能构成三角形,但不是等腰三角形;C.4+55,能构成三角形,且是等腰三角形;D.6+620,不能构成三角形.知识点四三角形的高、中线和角平分线7.如图4-1-3,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法中不正确的是 ()图4-1-3A.BE是△ABD的中线B.BD是△BCE的角平分线C.∠1=∠2=∠3D.BC是△ABE的高答案C在△ABD中,AE=DE,说明点E是△ABD的边AD的中点,所以BE是△ABD的中线,故A中说法正确.在△BCE中,∠EBC是△BCE的一个内角,又BD平分∠EBC交EC于点D,所以BD是△BCE的角平分线,故B中说法正确.由条件只能得到BE是△ABD的中线,而不能得到BE是△ABD的角平分线,所以不能得到∠1=∠2,故C中说法错误.由∠C=90°得BC垂直于AE,交AE的延长线于点C,在△ABE中,AE是一边,所以BC是△ABE的高,故D中说法正确.故选C.8.如图4-1-4所示,AD是△ABC中BC边上的中线,DE是△ADC中AC边上的中线,若△ABC的面积为4,则△DEC的面积为. 图4-1-4答案1解析∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD= S△ABC=2.同理,S△DEC= S△ACD= ×2=1.1212121.如图,∠A=35°,∠B=∠C=80°,则∠D的度数是 () A.35°B.55°C.65°D.75°答案A∵∠AOB=∠COD,∠A+∠B+∠AOB=180°,∴∠COD=∠AOB=180°-35°-80°=65°,又∵∠C+∠D+∠COD=180°,∴∠D=180°-80°-65°=35°.2.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数是 ()①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②∠A+∠B=∠C;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=2∠C.A.1B.2C.3D.4答案C①设