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第三章变量之间的关系初中数学（北师大版）七年级下册 第三章变量之间的关系知识点一变量与常量、自变量与因变量名称定义区别举例变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫变量“变量”是可以变化的,而“常量”是已知数C=2πR中,C,R是变量,2,π是常量常量在一个变化过程中,数值始终不变的量叫常量重点解读变量和常量往往是相对的,对于不同的研究过程而言,其中的变量和常量是不相同的,变量与常量是可以相互转换的.在行程问题中,当速度v保持不变时,行走的路程s是随时间t的变化而变化的,那么,在这一过程中,v是常量,而s和t是变量.当路程s是定值时,行走的时间t是随速度v的变化而变化的,那么,在这一过程中,s是常量,而v与t是变量特别提醒(1)区分常量与变量,就是看在某个变化过程中,该量的值是否可以改变(即是否会取不同的数值);(2)在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义例1A,B两地相距50千米,明明以每时5千米的速度由A地到B地,若他距B地的距离为y,到达时间为x,请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量.解析因为这个变化过程中,明明距B地的距离y随时间的变化而变化,所以自变量是时间x,因变量是明明与B地的距离y.知识点二用表格表示两个变量间的关系1.表示两个变量之间关系的表格,一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量,从表格中可以发现因变量随自变量的变化存在一定规律.从而利用这种变化趋势对相应结果进行预测,并据此解决实际问题.2.用表格表示两个变量之间的关系时,要注意自变量所取数值的排列顺序,并且因变量的值必须与自变量的值一一对应.例2弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)间有下面的关系,下列说法不正确的是 ()A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.所挂物体的质量为4kg时,弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cmx/kg012345y/cm1010.51111.51212.5解析A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量,故A正确;B.所挂物体的质量为4kg时,弹簧长度为12cm,故B正确;C.弹簧不挂重物时的长度为10cm,故C错误;D.物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm,故D正确.答案C题型变量之间的关系在生活中的应用例父亲告诉小明:“距离地面越远,温度越低”,并且出示了下面的表格:距离地面高度/km012345温度/℃201482-4-10根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,请你和小明一起回答:(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,那么随着h的变化,t如何变化?(3)你知道距离地面5千米的高空的温度是多少吗?(4)你能预测出距离地面6千米的高空的温度是多少吗?分析从表中我们可以看出距离地面的高度和温度是两个变化的量,并且温度是随着距离地面的高度的变化而变化的,所以h是自变量,温度t是因变量,并且温度随着h的升高而降低.解析(1)反映了距离地面的高度和温度之间的关系,其中距离地面的高度h是自变量,温度t是因变量.(2)随着h的升高,t在降低.(3)-10℃.(4)由题表可知距离地面的高度每增加1km温度降低6℃,所以距离地面6千米的高空的温度是-16℃.点拨根据表中的数据找出自变量和因变量,并尝试对变化趋势进行初步的预测是我们应该掌握的知识.我们要能够根据数据的递增或递减看出自变量和因变量的变化趋势.易错点对公式中的字母理解错误例认真读表中数据,下列说法错误的是 ()周长C2π3π4π5π6π7π半径R11.522.533.5A.π是变量B.C是变量C.R是变量D.变量有2个错解B、C、D错因分析认为π是字母,所以就是变量.正解A知识点一变量与常量、自变量与因变量1.王琛同学去买苹果,苹果的单价是5元/千克,王琛同学买苹果的总钱数随着购买苹果的数量的改变而变化,在这个变化过程中,常量是 ()A.苹果B.苹果的单价C.苹果的数量D.买苹果的总钱数答案B常量是在变化过程中保持不变的量,在这个过程中,苹果的单价保持不变,是常量.2.陈老师驾车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个是“5.61元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别是“油量”和“金额”,加油过程中,数值一直在变化.在这三个量当中,是常量,是变量.答案5.61;油量、金额解析在这三个量当中5.61是常量,油量、金额是变量.知识点二用表格表示变量之间的关系3.下表是某电器厂2017年下半年每个月的产量:(1)根据表格中的数据,你能否根据月份的变化,得到月产量的变化趋势?(2)根据表格,哪几个月的月产量在匀速增长?哪个月的产量最高?(3)试求2017年下半年的平均月产量.(结果保留整数)月份789101112月产量(台)100010001200130014001800解析(1)随着月份的增大,月产量在逐渐增加.(2)10月、11月这两个月的产量在匀速增长.12月份的产量最高.(3)2017年下半年的平均月产量为(1000+1000+1200+1300+1400+1800)÷6≈1283(台).1.某学习小组做了一个试验:从一幢100m高的楼顶随手放下一只苹果,测得有关数据如下:下落时间t(s)1234下落高度h(m)5204580则下列说法错误的是 ()A.苹果每秒下落的路程不变B.苹果每秒下落的路程越来越长C.苹果下落的速度越来越快D.可以推测,苹果落到地面的时间不超过5秒答案A20-5=15(m),45-20=25(m),每秒下落的路程发生变化,∴A错误.2.圆的半径为r,圆的面积S与半径r之间有如下关系:S=πr2.在这个关系中,常量是.答案π解析根据题意可知,S,r是两个变量,而π是一个常数(圆周率),是常量.1.当前,雾霾严重,治理雾霾的方法之一是将已产生的PM2.5吸纳降解,研究表明:雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小,在这个问题中,自变量是 ()A.雾霾程度B.PM2.5C.雾霾D.城市中心区的立体绿化面积答案D在判断自变量和因变量时,要分清哪个量是主动变化的,哪个量是被动变化的,主动变化的量是自变量,被动变化的量是因变量.2.星期天小明和同学们去郊外爬山,得到如下数据:(1)当爬到120米时,所用时间是多少?(2)爬坡速度随时间是怎样变化的?爬坡长度x/米4080120160200240爬坡时间t/分259142030解析(1)从题表的第一行中找到120米,对应的时间是9分钟,因此爬到120米时,所用时间是9分钟.(2)利用题表中数据进行计算.前40米用了2分钟,平均每分钟爬20米;又爬了40米用了3分钟,平均每分钟约爬13米;……;爬最后40米用了10分钟,平均每分钟爬4米,由此可知,爬坡速度随时间的增加而减小.3.已知某易拉罐厂设计了一种易拉罐,在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与用铝量有如下关系:(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当易拉罐底面半径为2.4cm时,易拉罐需要的用铝量是多少?(3)根据表格中的数据,你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜?说说你的理由.底面半径x/cm1.62.02.42.83.23.64.0用铝量y/cm36.96.05.65.55.76.06.5解析(1)反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系,其中,易拉罐底面半径为自变量,用铝量为因变量.(2)5.6cm3.(3)易拉罐的底面半径为2.8cm时比较合适,因为此时用铝量最少,成本低.1.某超市进了一批不同利润的皮鞋,下表是超市在近几年统计的平均数据.要使超市皮鞋的销售收入最大,该超市应多进利润为多少的皮鞋 ()每双皮鞋利润/元160140120100销售百分率60%75%83%95%A.160元B.140元C.120元D.100元答案B设4种不同利润的皮鞋都进了a双,则4种皮鞋的销售利润分别如下:160·a·60%=96a(元),140·a·75%=105a(元),120·a·83%=99.6a(元),100·a·95%=95a(元),∴应多进每双皮鞋利润为140元的皮鞋.2.下表反映了一水果摊卖出苹果时,收入(元)随卖出苹果的质量(kg)的变化情况:(1)在这个表格中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当苹果卖了5kg时,收入是多少元?(3)当收入是14元时,卖出了多少千克苹果?(4)如果用x表示卖出苹果的质量,用y表示收入的钱数,根据表中获得的信息,你能把y与x之间的关系用等式表示出来吗?(5)当苹果卖出100kg时,收入是多少元?质量/kg123456789…收入/元24681012141618…解析(1)卖出苹果的质量和收入之间的关系,前者是自变量,后者是因变量.(2)10元.(3)7千克.(4)y=2x.(5)200元.一、选择题1.(2017山东济南期末,1,★☆☆)骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而变化,在这一问题中因变量是 ()A.沙漠B.体温C.时间D.骆驼答案B体温随着时间的变化而变化,自变量是时间,因变量是体温.二、解答题2.(2017山东青岛胶州期末,26,★★☆)一辆汽车油箱内有油56升,从某地出发,每行驶1千米,耗油0.08升,如果设油箱内剩油量为y(升),行驶路程为x(千米),则y随x的变化而变化.(1)在上述变化过程中,自变量是,因变量是;(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量,请将表格补充完整;行驶路程x(千米)100200300400油箱内剩油量y(升)4024(3)试写出y与x之间的关系式:;(4)这辆汽车行驶350千米时剩油多少升?汽车剩油8升时,行驶了多少千米?解析(1)汽车行驶路程;油箱内剩油量.(2)48;32.(3)y=56-0.08x.易知每行驶x千米,耗油0.08x升,油箱剩油量y=56-0.08x.(4)当x=350时,y=56-0.08×350=28,所以汽车行驶350千米时剩油28升.当y=8时,8=56-0.08x,解得x=600,所以汽车行驶600千米时剩油8升.(2016陕西汉中期末,2,★☆☆)在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是 ()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器答案B水温随着所晒时间的变化而变化,所以水温是因变量.解答题[2015天津中考,23(1)(2),★★☆]1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50min.设气球上升时间为xmin(0≤x≤50).(1)根据题意,填写下表;上升时间/min1030…x1号探测气球所在位置的海拔/m15…2号探测气球所在位置的海拔/m30…(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由.解析(1)题表中第二行从左至右依次填入35;x+5.第三行从左至右依次填入20;0.5x+15.(2)两个气球能位于同一高度.根据题意,得x+5=0.5x+15,解得x=20,有x+5=25.答:气球上升了20min,都位于海拔25m的高度.(2013湖北黄石中考,16,★★☆)在计数制中,通常我们使用的是“十进位制”,即“逢十进一”.而计数制方法很多,如60进位制:60秒化为1分,60分化为1小时;24进位制:24小时化为1天;7进位制:7天化为1周等.而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表:十进位制0123456…二进位制011011100101110…将二进位制数10101010写成十进位制数为.答案170解析10101010=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+0×20=128+32+8+2=170.1.某商店