七年级数学下册 第2章 整式的乘法 2.2 乘法公式教学课件 （新版）湘教版

教学课件数学七年级下册湘教版第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.1平方差公式计算下列各式，你能发现什么规律：(a+1)(a-1)=a2-a+a-12=，(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22=，(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32=，(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=.a2-12a2-22a2-32a2-42我们用多项式乘法来推导一般情况：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.思考我们把(a+b)(a-b)=a2-b2.叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？ab（1）aba-b（2）讨论图（2）中的面积为：(a+b)(a-b)，图（1）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩余部分的面积，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.【例1】运用平方差公式计算：（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(x+2y)(x-2y)解：（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1.（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2.【例2】运用平方差公式计算：（1）；（2）(4a+b)(-b+4a).112222xyxy解：（1）112222xyxy222212214.4xyxy（2）(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2=16a2-b2.【例3】计算：1002×998.解：1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=999996.运用平方差公式可以简化一些运算.1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(x-2)(x+2)=x2-2；（2）(-2x-1)(2x-1)=4x2-1.答案：（1）、（2）均不对；（1）(x-2)(x+2)=x2-4；（2）(-2x-1)(2x-1)=1-4x2.练习2.运用平方差公式计算：（1）(m+2n)(m-2n)；（2）(3a+b)(3a-b)；（3）(0.5x-y)(0.5x+y)；（4）(-1+5a)(-1-5a).答案：（1）m2-4n2；（2）9a2-b2；（3）0.25x2-y2；（4）1-25a2.3.计算：（1）202×198；（2）49.8×50.2.答案：（1）39996；（2）2499.96.通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思我进步2.2.2完全平方公式计算下列各式，你能发现什么规律：(a+1)2=(a+1)(a+1)=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12，(a+2)2=(a+2)(a+2)=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22，(a+3)2=(a+3)(a+3)=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32，(a+4)2=(a+4)(a+4)=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42.我们用多项式乘法来推导一般情况：(a+b)2=(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.思考(a-b)2=?把(a+b)2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看.(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.我们把(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.讨论把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？ababa2b2abab由图可知，大正方形的面积为(a+b)2；分割成的四块的面积和为a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2.由题可知，大正方形的面积与四个小正方形的面积相等，所以有(a+b)2=a2+2ab+b2.讨论【例1】运用完全平方公式计算：（1）(3m+n)2；（2）21.2x解：（1）(3m+n)2=(3m)2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2.（2）212x222112221.4xxxx1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(x+2)2=x2+4；（2）(-a-b)2=a2-2ab+b2.答案：（1）、（2）均不对；（1）(x+2)2=x2+4x+4；（2）(-a-b)2=a2+2ab+b2.练习2.运用完全平方公式计算：（1）(x+4)2；（2）(2a-3)2；（3）215.2m答案：（1）x2+8x+16；（2）4a2-12a+9；（3）21255.4mm(a-b)2与(b-a)2，(a+b)2与(-a-b)2相等吗？为什么？相等.因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，所以(a-b)2=(b-a)2；又因为(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2，所以(a+b)2=(-a-b)2.也可用完全平方公式将它们分别展开，也可得到相等.讨论【例2】运用完全平方公式计算：（1）(-x+1)2；（2）(-2x-3)2.解：（1）(-x+1)2=(-x)2+2(-x)·1+12=x2-2x+1.（2）(-2x-3)2.=[-(2x+3)]2.=(2x+3)2.=4x2+12x+9.【例3】计算：（1）(a+b)2-(a-b)2；（2）(a+b+1)2.解：（1）(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=4ab.（2）(a+b+1)2=(a+b)2+2(a+b)+1=a2+2ab+b2+2a+2b+1.【例4】计算：（1）1042；（2）1982.解：（1）1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816.（2）1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+16=39204.1.运用完全平方公式计算：（1）(-2a+3)2；（2）(-3x+0.5)2；（3）(-x2-4y)2；（4）(1-2b)2.答案：（1）4a2-12a+9；（2）9x2-3b+0.25；（3）x4+8x2y+16y2；（4）1-4b+4b2.练习2.计算：（1）(x+2y)2-(x-2y)2；（2）(a-b+1)2.答案：（1）8xy；（2）a2-2ab+b2+2a-2b+1.3.计算：（1）1032；（2）2972.答案：（1）10609；（2）88209.通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思我进步2.2.3运用乘法公式进行计算（1）(x+1)(x2+1)(x-1)=？（2）(x+y+1)(x+y-1)=?思考对于问题（1），如果直接按从左至右的运算顺序进行计算，计算过程很繁琐而且容易出错.通过观察，发现(x+1)与(x-1)可以凑成平方差公式，然后再与(x2+1)相乘可以化简运算.(x+1)(x2+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x2+1)（交换律）=(x2-1)(x2+1)=x4-1.对于问题（2），通过观察，发现可以把x+y看作一个整体，这样就可以用平方差公式来计算.(x+y+1)(x+y-1)=[(x+y)+1][(x+y)-1]=(x+y)2-1=x2+2xy+y2-1.遇到多项式的乘法时，我们要首先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.【例1】运用乘法公式计算：（1）[(a+3)(a-3)]2；（2）(a-b+c)(a+b-c).解：（1）[(a+3)(a-3)]2=(a2-9)2=(a2)2-2a2·9+92=a4-18a2+81.（2）(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2.【例2】一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2，求这个正方形花圃原来的边长.解：设正方形花圃原来的边长为xm.由数量关系，得(2x+1)2=4x2+21，化简，得4x2+4x+1=4x2+21，即4x=20，解得x=5.答：这个正方形花圃原来的边长为5m.1.运用乘法公式计算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；（2）(a+2b-1)(a+2b+1)；（3）(2m+n-1)(2m-n+1)；（4）(x+1)2(x-1)2.答案：（1）x4-16；（2）a2+4ab+4b2-1；（3）4m2-n2+2n-1；（4）x4-2x2+1.练习2.计算：(a-b-c)2.答案：a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.3.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm2，求这个正方形原来的边长.答案：5cm.通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思我进步