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第二章相交线与平行线初中数学（北师大版）七年级下册知识点用尺规作一个角等于已知角1.尺规作图的意义在几何中,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.实际上,我们经常用的是有刻度的直尺和三角板,在严格的尺规作图中,只能用直尺来画直线,不能用其刻度来度量长度,圆规则用来作圆(或弧)或截取一定长度的线段.2.用尺规作一个角等于已知角尺规作图一般有以下四步:已知,求作,作法,写出结论.如图2-4-1,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 图2-4-1图2-4-2作法:①作射线O'A';②以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;③以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';④以点C'为圆心,CD长为半径画弧,交前面的弧于点D';⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角,如图2-4-2.例已知∠1和∠2,如图2-4-3所示,用尺规作图:画出∠AOB=∠1+∠2,保留作图痕迹. 图2-4-3分析先作一个角等于已知的∠1,以∠1的一边为一边,在∠1的外部再作一个角等于已知的∠2即可.解析如图2-4-4所示,(1)作射线OA;(2)以O为顶点作∠AOC=∠1;(3)以点O为顶点,OC为一边在∠AOC外部作∠COB=∠2,则∠AOB为所求作的角. 图2-4-4题型作一个角等于已知角的实际应用例如图2-4-5所示,打台球时,母球由A点出发撞击到台球桌边CD的点O处,请用尺规作图的方法作出母球反弹后的运动方向.(要求:不写作法,但要保留作图痕迹) 图2-4-5分析实际上是以OD为一边作一个角等于∠AOC.解析如图2-4-6所示,射线OA'的方向就是母球反弹后的运动方向. 图2-4-6点拨生活中会遇到很多作一个角等于已知角的问题,常用的方法是借助量角器,但是有些问题需要利用尺规作图解决.平行线性质与判定综合运用中的逻辑推理素养解读逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,增强交流能力.典例剖析例(2017山东泰安岱岳期末)如图2-4-7,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.试说明:DF∥AB. 图2-4-7解析∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2,∵∠E=∠1,∴∠E=∠2,∴AE∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠3+∠ABC=180°,∴∠A=∠3,∴DF∥AB.素养呈现这是一个利用平行线的性质与判定的典型题目,要得到平行,先说明角的数量关系,要得到角的数量关系,先找平行.由角平分线的性质和∠E=∠1得到∠E=∠2,进而判定BC与AE平行,再利用平行线的性质得出∠A与∠ABC互补,再根据∠3与∠ABC互补,得到∠A=∠3,即可得到DF∥AB.知识点用尺规作一个角等于已知角1.下列关于尺规的功能说法不正确的是 ()A.直尺的功能:在两点间连接一条线段,将线段向两方延长B.直尺的功能:可作平角和直角C.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一个圆D.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一段弧答案B尺规作图中的直尺不含单位长度和角度,不能用直尺作直角,直尺的功能是作直线、射线或线段.2.下列作图属于尺规作图的是 ()A.用量角器画出∠AOB的平分线OCB.已知∠α,作∠AOB,使∠AOB=2∠αC.用刻度尺画线段AB=3cmD.用三角板过点P作AB的垂线答案B3.下列语句是有关几何作图的叙述.①以O为圆心作弧;②延长射线AB到点C;③作∠AOB,使∠AOB=∠1;④作直线AB,使AB=a;⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线.其中正确的为(填序号即可).答案③⑤解析①以O为圆心作弧可以画出无数条弧,因为半径不固定,所以叙述错误;②射线AB是由A向B无限延伸的,所以叙述错误;③根据作一个角等于已知角的作法,可以作∠AOB,使∠AOB等于∠1,所以叙述正确;④直线可以向两方无限延伸,所以叙述错误;⑤根据平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,知可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线,所以叙述正确.所以正确的为③⑤.4.如图2-4-1所示,已知∠α,∠β(∠β∠α),求作一个角,使它等于∠β与∠α的差. 图2-4-1解析作∠COB=∠β,在∠β的内部以OB为一边,作∠AOB=∠α,则∠AOC就是所要求作的角,如图所示. 1.如图所示,已知∠AOB,以OB为边作∠BOC,使∠BOC=2∠AOB,那么下列说法正确的是 () A.∠AOC=3∠AOBB.∠AOC=∠AOBC.∠AOC∠BOCD.∠AOB=∠AOC或∠AOC=3∠AOB答案D分两种情况讨论.2.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是 ()A.两直线平行,同位角相等B.同位角相等,两直线平行C.两直线平行,内错角相等D.内错角相等,两直线平行答案D画出的角与已知角是内错角.故选D.(1)求作∠AOB,使∠AOB=∠α+∠β;(2)求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β.(不写作法,保留作图痕迹)3.如图所示,已知∠α,∠β.解析(1)如图所示. ∠AOB即为所求.(2)如图所示. ∠AOB即为所求.1.已知:线段a,∠α,∠β,如图2-4-2.求作:一个三角形,使其两角分别等于∠α,∠β,且两角所夹的边长为a. 图2-4-2解析作法:①作线段AB=a;②作∠CAB=∠α,在AB的同侧作∠CBA=∠β,两边交于点C.则△ABC就是要求作的三角形.如图. 2.如图2-4-3,已知∠AOB及其两边上的点C,D,过点C作CE∥OB,过点D作DF∥OA,使CE,DF交于点P. 图2-4-3解析如图,作∠ACE=∠O,∠BDF=∠O即可,作图痕迹略. 1.只用无刻度直尺就能作出的是 ()A.延长线段AB至C,使BC=ABB.过直线l上一点A作l的垂线C.作已知角的平分线D.已知点O,P,作射线OP答案D使用的是无刻度的直尺,作图时不能作出BC=AB,所以A不符合题意;过直线l上一点A作l的垂线时,要有直角三角板、量角器或圆规,只用无刻度直尺是不能作出垂线的,所以B不符合题意;作已知角的平分线,需用圆规,只用无刻度直尺是作不出角平分线的,所以C不符合题意;已知点O,P,作射线OP,可以只用无刻度直尺作出,故选D.FG︵2.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了CN∥OA,作图痕迹中 是 ()A.以点C为圆心,OD长为半径的弧B.以点C为圆心,DM长为半径的弧C.以点E为圆心,OD长为半径的弧D.以点E为圆心,DM长为半径的弧答案D由CN∥OA知∠AOD=∠NCB,则 是以点E为圆心,DM长为半径的弧,故选D.FG︵解答题(2018河北保定十七中期中,25,★☆☆)已知∠1,如图2-4-4.求作∠ABC,使∠ABC=2∠1.(不写作法) 图2-4-4解析如图,∠ABC为所求作的角.(2018甘肃景泰四中期中,23,★☆☆)作图题.(不写作法,保留作图痕迹)已知:∠α.请你用直尺和圆规画∠BAC,使∠BAC=∠α. 解析∠BAC为所求作的角. 选择题1.(2017湖北宜昌中考,4,★☆☆)谜语:干活两腿脚,一腿勤,一腿懒,一脚站,一脚转.打一数学学习工具,谜底为 ()A.量角器B.直尺C.三角板D.圆规答案D圆规有两只脚,一只脚固定,另一只脚旋转.图2-4-52.(2017广西南宁中考,7,★☆☆)如图2-4-5,△ABC中,ABAC,∠CAD为△ABC的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是 ()A.∠DAE=∠BB.∠EAC=∠CC.AE∥BCD.∠DAE=∠EAC答案D根据作图痕迹可知,题图是用尺规作一个角等于已知角,即∠DAE=∠B,进而得到AE∥BC,从而有∠EAC=∠C,故选项A、B、C均正确;因为ABAC,所以∠ABC≠∠ACB,即∠DAE≠∠EAC,故选项D错误.(2017湖北随州中考,6,★☆☆)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA、OB于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是 () A.以点F为圆心,OE长为半径画弧B.以点F为圆心,EF长为半径画弧C.以点E为圆心,OE长为半径画弧D.以点E为圆心,EF长为半径画弧答案D如图2-4-6所示,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹 是 ()A.以点B为圆心,OD长为半径的弧B.以点B为圆心,OC长为半径的弧C.以点E为圆心,OD长为半径的弧D.以点E为圆心,DC长为半径的弧图2-4-6MN︵答案D作∠OBF=∠AOB的作法:①以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交射线OA,OB于点C,D;②以点B为圆心,以OC长为半径画弧,交BO于点E;③以点E为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于点F,连接BF即可得到∠OBF,则∠OBF=∠AOB.由此可知选D.根据要求,用尺规作图.(不写作法,只需保留作图痕迹)如图,在AD的右侧作∠DCP=∠DAB. 解析如图.