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第二章相交线与平行线初中数学（北师大版）七年级下册知识点一利用同位角判定两直线平行1.同位角如图2-2-1所示,具有∠1和∠2这样位置关系的角称为同位角.同位角还有∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8. 图2-2-1同位角的特征:①在被截两直线的同旁;②在截线的同旁.2.判定两直线平行的条件条件1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行,简记为同位角相等,两直线平行.推理格式:如图2-2-2,∵∠1=∠2,∴a∥b. 图2-2-2例1如图2-2-3,直线AB与CD相交于点O,∠AOD+∠C=180°,直线AB与CE一定平行吗?试说明你的理由. 图2-2-3分析根据平角定义得到∠AOD+∠BOD=180°,又∠AOD+∠C=180°,则有∠BOD=∠C,根据“同位角相等,两直线平行”可得到AB∥CE.解析直线AB与CE一定平行.理由如下:因为∠AOD+∠BOD=180°,而∠AOD+∠C=180°,所以∠BOD=∠C.所以AB∥CE.图2-2-4知识点二平行公理及推论1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行于同一条直线的两条直线平行.提示:1着重强调“经过直线外一点”,而不是直线上一点,要与垂线的第一性质区分开.2的推理格式(如图2-2-4).∵a∥b,a∥c,∴b∥c.例2在同一平面内,直线m、n相交于点O,且l∥n,则直线l和m的关系是 ()A.平行B.相交C.重合D.以上都有可能解析由m、n相交于点O,得O点在直线n上,又l∥n,所以点O不在直线l上.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,所以m与l相交.故选B.答案B知识点三利用内错角、同旁内角判定两直线平行1.内错角如图2-2-5所示,具有∠1和∠4这样位置关系的角称为内错角,内错角还有∠3和∠2. 图2-2-5内错角的特征:①在被截两直线之间;②在截线的两旁.2.同旁内角如图2-2-5所示,具有∠1和∠2这样位置关系的角称为同旁内角,同旁内角还有∠3和∠4.同旁内角的特征:①在被截两直线之间;②在截线的同旁.3.判定两直线平行的条件条件2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简记为“内错角相等,两直线平行”.推理格式:如图2-2-6,∵∠1=∠2,∴AB∥CD.图2-2-6条件3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简记为“同旁内角互补,两直线平行”.推理格式:如图2-2-7,∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD. 图2-2-7注意:同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两个角之间的位置关系,它们没有确定的数量关系,如图2-2-8所示,∠1与∠2是同位角,但它们不相等.只有在“两条平行直线被第三条直线所截”的前提下,同位角才相等.同样也只有在这个前提下,内错角才相等,同旁内角才互补(将在下节“平行线的性质”学到).图2-2-8例3如图2-2-9,下列条件不能判定直线a∥b的是 () 图2-2-9A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠1+∠4=180°D.∠2+∠4=180°解析A.∵∠1=∠2,∴a∥b(内错角相等,两直线平行);B.∵∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行);C.∠1+∠4=180°与a,b的位置无关;D.∵∠2+∠4=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).答案C题型一利用平行解决生活中的实际问题例1如图2-2-10所示,有平面镜A与B,光线由水平方向射来,传播路线为a→b→c.已知a⊥b,b⊥c,∠1=∠3=45°,你知道平面镜A与B之间的位置关系吗? 图2-2-10解析平面镜A与平面镜B互相平行.理由如下:如图2-2-11,∵a⊥b,b⊥c,∴∠5=∠6=90°(垂直的定义).∴∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°.∵∠1=∠3=45°,∴∠4=∠2(等角的余角相等),∴平面镜A与平面镜B平行(内错角相等,两直线平行). 图2-2-11点拨对于实际问题,先转化为数学问题,再根据已知条件解决.题型二构造辅助线解决问题例2如图2-2-12,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说明:AB∥EF. 图2-2-12分析从本题中无法找出能直接判定AB∥EF的角,我们可以从辅助线入手,找到能判定直线平行的角,把问题转化到“三线八角”中解答.解析如图2-2-13,分别向两方延长线段CD交EF于点M,交AB于点N. 图2-2-13因为∠BCD=45°,所以∠NCB=135°.又因为∠B=25°,所以∠CNB=180°-∠NCB-∠B=20°.因为∠CDE=30°,所以∠EDM=150°.又因为∠E=10°,所以∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°.所以∠CNB=∠EMD.所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).点拨有些探究性问题直接证明很难,我们可以根据平行线的判定定理,添加辅助线,把问题转化到“三线八角”中解决.易错点概念没有理解清楚,导致错用定理例如图2-2-14所示,如果∠ACE=∠BDF,那么CE∥DF吗?图2-2-14错解平行,因为∠ACE=∠BDF,所以CE∥DF(同位角相等,两直线平行).错因分析错误地认为∠ACE和∠BDF是直线CE和DF被直线AB所截形成的一组同位角,其实仔细观察图形可以发现,∠ACE和∠BDF是不能构成同位角的关系的,所以用来判断两直线平行显然是错误的.正解CE∥DF.理由如下:因为∠ACE=∠BDF,又因为∠ACE+∠ECB=180°,∠BDF+∠FDA=180°,所以∠ECB=∠FDA(等角的补角相等),所以CE∥DF(内错角相等,两直线平行).知识点一利用同位角判定两直线平行1.下列图形中,∠1和∠2是同位角的是 () 答案D根据同位角的定义可知选D.2.对于图2-2-1中标记的各角,下列条件能够推理得到a∥b的是 () 图2-2-1A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠2+∠3=∠4答案D∠2与∠3的和角与∠4是同位角,根据同位角相等,两直线平行,知当∠2+∠3=∠4时,可判定a∥b.3.如图2-2-2,已知直线c与a、b分别交于点A、B,且∠1=120°,当∠2=时,直线a∥b. () 图2-2-2A.60°B.120°C.30°D.150°答案B如图,∠1=∠3=120°,根据同位角相等,两直线平行可知当∠2=∠3=120°时,a∥b. 知识点二平行公理及推论4.如图2-2-3,∠1=∠2,∠3=∠4.试说明b∥c.请完成以下说理过程.∵∠1=∠2,∴a∥b(),又∵∠3=∠4,∴∥(同位角相等,两直线平行).∴b∥c(). 图2-2-3答案同位角相等,两直线平行;a;c;平行于同一条直线的两条直线平行知识点三利用内错角、同旁内角判定两直线平行5.(2016江西新余四中期中)如图2-2-4,下列推理中正确的是 () 图2-2-4A.∵∠2=∠4,∴AD∥BCB.∵∠4+∠D=180°,∴AD∥BCC.∵∠1=∠3,∴AD∥BCD.∵∠4+∠B=180°,∴AB∥CD答案CA.∠2与∠4是AB,CD被AC所截得到的内错角,根据∠2=∠4可以判定AB∥CD,不能判定AD∥BC;B.∠4与∠D不可能互补,因而B错误;D.∠4与∠B不是同旁内角,无法根据∠4+∠B=180°判定AB∥CD,故D错误;正确的是C,根据的是“内错角相等,两直线平行”.故选C.6.如图2-2-5,直线a与直线b被直线c所截,b⊥c,垂足为点A,∠1=70°.若使直线b与直线a平行,则可将直线b绕着点A顺时针旋转 () 图2-2-5A.70°B.50°C.30°D.20°答案D如图,∵b⊥c,∴∠2=90°.∵∠1=70°,∴要使a∥b,则直线b绕着点A顺时针旋转的度数可为90°-70°=20°.故选D. 7.如图2-2-6,小明在两块含30°角的直角三角板的边缘画直线AB和CD,得到AB∥CD,根据是,两直线平行. 图2-2-6答案内错角相等解析∵∠ABC=∠BCD=30°,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).8.如图2-2-7,已知∠1=∠D,∠1+∠A=180°,可得哪些直线互相平行?请说明理由. 图2-2-7解析可知AD∥BC,AB∥DC.理由:因为∠1=∠D,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).因为∠1+∠A=180°,∠1=∠D,所以∠D+∠A=180°,所以AB∥DC(同旁内角互补,两直线平行).1.如图所示,能判定AB∥CD的是 () A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1=∠4D.∠2=∠3答案A选项A,因为∠1=∠2,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行);选项B应改为∠3+∠4=180°,才能判定AB∥CD;选项C中∠1与∠4是对顶角,不能判定两直线平行;选项D中,∠2与∠3是邻补角,也不能判定两直线平行.2.(2016四川成都实验外国语学校期末)如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是 () A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠5答案C∠1和∠3是l1和l2被l3所截形成的同旁内角,若它们互补,则l1与l2平行,故C符合.3.如图所示,∠A=120°,∠B=60°,∠EFC=∠DCG,试说明:AD∥EF. 解析∵∠A=120°,∠B=60°(已知),∴∠A+∠B=120°+60°=180°(等式性质).∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).∵∠EFC=∠DCG(已知),∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行).∴AD∥EF(平行于同一条直线的两直线平行).1.如图2-2-8,完成下列各题.(1)如果∠1=,那么DE∥AC;(2)如果∠1=,那么EF∥BC;(3)如果∠FED+=180°,那么AC∥ED;(4)如果∠2+=180°,那么AB∥DF. 图2-2-8答案(1)∠C(2)∠FED(3)∠EFC(4)∠AED解析利用平行线的判定方法解题.2.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线.理由如下:如图2-2-9,∵b⊥a,c⊥a(a,b,c位于同一平面内),∴∠1=∠2=90°,∴b∥c(). 图2-2-9答案平行;同位角相等,两直线平行3.如图2-2-10,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?说明理由. 图2-2-10解析AB∥CD.理由:如图,过点E在∠BEC的内部作∠FEC=∠C=35°,则有EF∥CD.因为∠BEC=95°,所以∠BEF=60°.因为∠ABE=120°,所以∠BEF+∠ABE=180°,所以AB∥EF.根据“平行于同一直线的两直线平行”,可得AB∥CD. 4.(2017江苏徐州期中)如图2-2-11,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线.试说明:(1)∠1+∠2=90°;(2)BE∥DF. 图2-2-11解析(1)∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,∵∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴2(∠1+∠2)=180°,∴∠1+∠2=90°.(2)在△FCD中,∵∠C=90°,∴∠DFC+∠2=90°,∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠DFC,∴BE∥DF.1.(2017重庆南开中学月考)如图,下列条件,不能判定直线l1∥l2的是 () A.∠1=∠3B.∠1=∠4C.∠2+∠3=180°D.∠3=∠5答案AA项,∠1=∠3,不能判定直线l1∥l2,故此选项符合题意;B项,∠1=∠4,根据“内错角相等,两直线平行”,可判定直线l1∥l2,故此选项不合题意;C项,∠2+∠3=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”,可判定直线l1∥l2,故此选项不合题意;D项,∠3=∠5,根据“同位角相等,两直线平行”,可判定直线l1∥l2,故此选项不合题意.故选A.2.(2017浙江金华模拟)如图,现给出下列条件:①∠1=∠2,②∠B=∠5,③∠3=∠4,④∠5=∠D,⑤∠B+∠BCD=180°,其中能够得到AD∥BC的条件是;能够得到AB∥CD的