搜索
第二章相交线与平行线初中数学（北师大版）七年级下册 第二章相交线与平行线知识点一相交线与平行线在同一平面内,直线与直线的位置关系只有两种:相交和平行.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图2-1-1,直线a与直线b平行,记作:a∥b.如图2-1-2,直线AB与直线CD相交于点O. 图2-1-1图2-1-2例1下列说法正确的是 ()A.两条直线不平行就相交B.在同一平面内,没有交点的两条直线是平行线C.不相交的两条直线叫平行线D.同一平面内,两条直线不相交就重合解析选项A没有说明两直线在同一平面内,故错误;选项B正确;选项C没有说明两直线在同一平面内,故错误;选项D中两条直线不相交还可以平行,故错误.答案B知识点二对顶角定义:两直线相交所形成的四个角中,两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.如图2-1-3,∠1与∠2是对顶角,∠3与∠4也是对顶角. 图2-1-3性质:对顶角相等.例2下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 () 解析根据对顶角的定义知选D.答案D知识点三余角和补角1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.注意:(1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是位置关系.例3一个角的余角等于这个角的补角的 ,求这个角.15分析用方程解决这个问题要好理解一些,我们可以设这个角为α,列方程求解.解析设这个角为α,依题意得90°-α= ×(180°-α),解得α=67.5°.答:这个角为67.5°.15知识点四垂线1.垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.注意:(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况;(2)遇到线段、射线的垂直问题,都指的是它们所在的直线互相垂直.2.垂线的画法过一点画已知直线的垂线有三种方法:(1)用三角板画垂线.(2)用量角器画垂线.(3)借助网格纸画垂线.3.垂线的性质(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.如图2-1-4所示,点P分别为直线l外和直线l上一点,过点P有且只有一条直线m⊥l. 图2-1-4注意:①画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条.②必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段最短.4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做该点到直线的距离.如图2-1-5所示,线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.图2-1-5注意:(1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段的长度.(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.例4如图2-1-6,O是直线AB上一点,∠AOD=53°,∠BOE=37°,则OD与OE的位置关系是什么? 图2-1-6解析因为∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=90°,所以OD⊥OE.题型一利用对顶角和互补的性质解决问题例1如图2-1-7所示,三条直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOF=3∠FOB,∠AOC=90°,求∠EOC的度数. 图2-1-7分析因为∠AOF与∠BOF互为补角,又知∠AOF=3∠BOF,可求出∠BOF.根据对顶角相等,得∠AOE=∠BOF,又因为∠AOC=90°,故∠EOC=90°-∠AOE.解析由题意知∠BOF+∠AOF=180°(补角定义),∠AOF=3∠BOF,所以∠BOF+3∠BOF=180°(等量代换),解得∠BOF=45°.所以∠AOE=∠BOF=45°(对顶角相等).所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°.点拨应用对顶角时要紧扣定义;除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.题型二垂线性质的应用例2如图2-1-8所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点时,离村庄M最近;行驶到Q点时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置. 图2-1-8分析分别从M,N点向AB引垂线,垂足即为P,Q点.解析如图2-1-9.作MP⊥AB,NQ⊥AB,垂足P,Q即为所要画的点. 图2-1-9知识点一相交线与平行线1.已知直线AB及一点P,若过点P作一直线与AB平行,则这样的直线 ()A.有且只有一条B.有两条C.不存在D.不存在或者只有一条答案D如果P是直线AB外的一点,则只可以作一条;如果P是直线AB上的一点,则不存在.2.a、b、c是平面内任意三条直线,交点可以有 ()A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个C.1个或2个D.都不对答案B分情况讨论:①三条直线平行,此时有0个交点;②只有两条直线平行,此时有2个交点;③三条直线都不平行,此时有1个交点或3个交点.知识点二对顶角3.图2-1-1中,∠1与∠2是对顶角的图形的个数是 () 图2-1-1A.1个B.2个C.3个D.4个答案B根据对顶角的定义可知只有②③中的∠1与∠2是对顶角.4.下列关于对顶角的语句中,正确的是 ()A.对顶角不一定相等B.两条直线相交所成的角是对顶角C.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角D.两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点,无公共边的两个角是对顶角答案D结合对顶角的定义和性质来判断.对顶角相等,选项A错;两条直线相交所成的角中既有邻补角,也有对顶角,选项B错;对于选项C,若两个角的边不互为反向延长线,则不是对顶角,选项C错;选项D正确.知识点三余角和补角5.如图2-1-2,点A、O、B在同一直线上,∠AOC=∠EOD=90°.若∠1=35°,则∠2=,∠3=,和∠1互余的角是. 图2-1-2答案55°;35°;∠2与∠4解析∵∠AOC=90°,∴∠BOC=180°-∠AOC=90°,∵∠1=35°,∴∠2=90°-∠1=55°,∵∠EOD=90°,∴∠3=90°-∠2=90°-55°=35°,∴∠1=∠3.∵∠3+∠4=90°,∴∠1+∠4=90°,∴和∠1互余的角为∠2和∠4.6.一个角的补角是它的余角的10倍,求这个角.解析设这个角的大小是x,则180°-x=10(90°-x),解得x=80°.所以这个角为80°.知识点四垂线7.如图2-1-3,OA⊥AB于点A,点O到直线AB的距离是 ()A.线段OAB.线段OA的长度C.线段OB的长度D.线段AB的长度图2-1-3答案B∵OA⊥AB,∴线段OA即为点O到直线AB的垂线段,根据点到直线的距离的定义可知选B.8.点P为直线l外的一点,点A,B,C是直线l上的三个点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离是 ()A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm答案C点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长度,由垂线段最短,知点P到l的距离小于或等于2cm,故选C.9.如图2-1-4,立定跳远比赛时,小明从点A起跳落在沙坑内B处,这次小明的跳远成绩是4.6米,则小明从起跳点到落脚点之间的距离是 ()图2-1-4A.大于4.6米B.等于4.6米C.小于4.6米D.不能确定答案A跳远的成绩是点B到起跳线的距离,即垂线段的长度为4.6米.结合题图知AB的长大于4.6米.1.如图所示,BE、CF是直线,OA、OD是射线,其中构成对顶角的是 () A.∠AOE与∠CODB.∠AOD与∠BODC.∠BOF与∠COED.∠AOF与∠BOC答案C2.在同一平面内,两条直线的位置关系有 ()A.两种:平行和相交B.两种:平行和垂直C.三种:平行、垂直和相交D.两种:垂直和相交答案A垂直是相交的特殊情况.3.下列说法正确的是 ()A.在同一个平面内,不相交的两条线段是平行线B.在同一个平面内,两条线段不相交就重合C.在同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线D.不相交的两条直线是平行线答案C在同一平面内,两条直线只有一个公共点时相交,有两个及两个以上的公共点时重合,没有公共点时平行,故选C.4.如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为 () A.35°B.45°C.55°D.65°答案C∵∠1+∠2=180°,∠1=145°,∴∠2=180°-145°=35°,又∵CO⊥DO,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=90°-35°=55°.5.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互补,若∠A=50°,则∠C的度数是 ()A.40°B.50°C.130°D.140°答案D∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°,又∵∠A=50°,∴∠B=90°-50°=40°.∵∠B与∠C互补,∴∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠B=180°-40°=140°.6.如图是由两块三角板拼成的图形,在直角顶点处构成了3个锐角,这三个锐角中互余的角是,相等的角是,相等的理由是. 答案∠3与∠2,∠2与∠1;∠1与∠3;同角的余角相等7.如图所示,在方格网中画出与线段AB垂直的线段,垂足为A. 解析如图,AC即为满足条件的垂线段. 8.如图所示,已知直线AB、CD、EF相交于点O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=20°,求∠DOE的度数. 解析∵∠1∶∠3=3∶1,∴设∠1=3k,∠3=k(k0°),则3k+20°+k=180°,解得k=40°.∴∠1=3k=120°.∴∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.∴∠DOE=∠COF=140°.1.如图2-1-5,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下面的结论中,正确的个数为 () 图2-1-5①AC与CB互相垂直;②CD和BC互相垂直;③点B到AC的垂线段是线段CA;④点C到AB的距离是线段CD;⑤线段AC的长度是点A到BC的距离.A.2个B.3个C.4个D.5个答案A由∠ACB=90°可知AC与CB互相垂直,∴①正确;∵CD⊥AB,∴CD和BC不互相垂直,∴②错误;点B到AC的垂线段是线段BC,∴③错误;点C到AB的距离应是线段CD的长度,而不是线段CD本身,∴④错误;⑤正确.2.如图2-1-6,将一张长方形纸片的一角斜折过去,使顶点A落在A'处,BC为折痕,若BD平分∠A'BE,则BC与BD的位置关系是. 图2-1-6答案BC⊥BD解析由折叠得∠ABC=∠A'BC,∵BD平分∠A'BE,∴∠A'BD=∠DBE.又∵∠ABC+∠A'BC+∠A'BD+∠DBE=180°,∴∠A‘BC+∠A’BD= ×180°=90°,即∠CBD=90°,∴BC⊥BD.123.一个角的补角加上10°后,等于这个角的余角的3倍,则这个角是°.答案40解析设这个角为x°,则180-x+10=3(90-x),解得x=40.所以这个角为40°.4.如图2-1-7,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF平分∠BOD,若∠AOE=40°,求∠BOF的度数. 图2-1-7解析因为OE⊥CD,所以∠AOE+∠AOC=90°,因为∠AOE=40°,所以∠AOC=90°-∠AOE=90°-40°=50°,所以∠BOD=∠AOC=50°,因为OF平分∠BOD,所以∠BOF= ∠BOD= ×50°=25°.12125.在如图2-1-8所示的方格纸中,按要求画图,并回答问题.(1)过A点作线段BC的垂线,垂足为D;(2)该垂线是否经过格点(格点是画方格时纵向和横向线段的交点)?如果经过格点,请在图中标出垂线所经过的格点. 图2-1-8解析(1)如图,