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第九章不等式与不等式组9.3一元一次不等式组课题引入某物体重𝑥克，在天平秤上称出了下面两种结果。试着估算一下物体的重量。𝑥+50100（1）𝑥+50200（2）怎样计算上面的不等式方程组呢？课题引入𝒙+50100（1）𝒙+50200（2）𝒙50𝒙15050𝒙150两个不等式组解集的公共部分。教学新知1.类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一元一次不等式组.2.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.3.一元一次不等式组解集规律：同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解.知识要点2.会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集。1.理解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集等概念。3.会按照要求求一元一次不等式组的特殊解。知识梳理知识点1：一元一次不等式组的概念.类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一元一次不等式组.【例】下列不等式组：①𝑥−2𝑥3；②𝑥0𝑥+23；③𝑥2+1𝑥𝑥2+14；④𝑥+30𝑥−7；⑤𝑥+10𝑦−10．其中一元一次不等组的个数是（）.A．2个B．3个C．4个D．5个B知识梳理【讲解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组.故有①②④三个一元一次不等式组.故选B．【方法小结】判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要从以下两个方面考虑：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式；②整个不等式组中只含一个未知数.知识梳理【小练习】下列各式中是一元一次不等式组的是（）.A.𝑥+321𝑥+2≥5B.𝑥+𝑦4𝑥−𝑦6C.𝑥+4≥−3612D.𝑥−6−2𝑥+18D知识点2：不等式组的解集.1.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.2.一元一次不等式组解集规律：知识梳理同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解.【例】下列说法正确的是（）A.不等式组𝑥3𝑥5的解集是5＜𝑥＜3B.不等式组𝑥−2𝑥＜−3的解集是-3＜𝑥＜-2C.不等式组𝑥≥2𝑥≤2的解集是𝑥=2D.不等式组𝑥＜−3𝑥−3的解集是𝑥≠−3C知识梳理【讲解】A.不等式组𝑥3𝑥5的解集是x＞5，选项错误；B.不等式组𝑥−2𝑥＜−3的解集是无解，选项错误；C.不等式组𝑥≥2𝑥≤2的解集是x=2，选项正确；D.不等式组𝑥＜−3𝑥−3的解集是无解.故选C.【方法小结】根据同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解可以快速求得不等式的解集.知识梳理【小练习】1.已知不等式组𝑥−𝑎≥0−2𝑥−4有解，则a的取值范围为（）.A．a＞-2B．a≥-2C．a＜2D．a≥22.写出一个解集在数轴上如图9-3-4所示的不等式组：________.图9-3-4C知识梳理答案：𝑥+10𝑥−2＜0.（答案不唯一）知识点3：一元一次不等式组的解法.解一元一次不等式组的步骤：(1)求出各个不等式的解集；(2)找出各个不等式的解集的公共部分.①②【例1】解下列不等式组：（1）𝑥+121①7𝑥−89𝑥②（2）3𝑥−2𝑥+1①𝑥+54𝑥+1②知识梳理（3）5𝑥−23(𝑥+1)①12𝑥−1≤7−32𝑥②（4）3𝑥−111①2𝑥6②【讲解】（1）解不等式①，得x＞1.解不等式②，得x＞－4.在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图9-3-5，所以这个不等式组的解集为x＞1.（2）解不等式①，得x＜32.解不等式②，得x＜43.在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图9-3-6，所以这个不等式组的解集为x＜43.（3）解不等式①，得x＞52.解不等式②，得x≤4.在同一条数轴上表示不知识梳理等式①，②的解集如图9-3-7，所以，这个不等式组的解集为52＜x≤4.（4）解不等式①，得x＞4.解不等式②，得x＜3.在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图9-3-8，所以，这个不等式组的解集为无解.图9-3-5图9-3-6图9-3-7图9-3-8知识梳理【方法小结】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再画数轴找它的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.【例2】求不等式组𝑥+422𝑥+3−35𝑥的整数解.【讲解】𝑥+42①2𝑥+3−35𝑥②解不等式①，得x＞-2，解不等式②，得x＜1.所以不等式组的解集为-2＜x＜1，所以原不等式组的整数解为-1，0．知识梳理【方法小结】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解.”确定不等式组的解集，从而找出符号条件的整数解.【小练习】1.（2015•湘潭）解不等式组：𝑥+53𝑥+64𝑥−3答案：-2＜x＜3.知识梳理2.（2015•上海）解不等式组：4𝑥2𝑥−6𝑥−12≤𝑥+12，并把解集在数轴上表示出来（如图9-3-9）.图9-3-9图9-3-10答案：不等式组的解集为-3＜x≤2.在数轴上表示不等式组的解集如图9-3-10所示.知识梳理3.解不等式组4𝑥+1≤7𝑥+10𝑥−5＜𝑥−83,并写出它的所有非负整数解.答案：不等式组的解集是-2≤x＜72，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．考点1：在数轴上表示不等式组的解集.【例1】（2015•娄底）一元一次不等式组𝑥−1≤01+12𝑥0的解集在数轴上表示出来，正确的是（）.B知识梳理ABDC【解析】𝑥−1≤0①1+12𝑥0②由①得：x≤1.由②得：x＞-2.不等式组的解集为-2＜x≤1表示在数轴上，如图9-3-11所示：故选B．知识梳理图9-3-11【方法小结】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.知识梳理实战演练1.（2015•长沙）在数轴上表示不等式组2+𝑥02𝑥−6≤0的解集，正确的是（）.ABDCA知识梳理2.（2015•曲靖）不等式组𝑥−3≥012(𝑥+3)≤1的解集在数轴上表示正确的是（）.ABDCD知识梳理考点2：解一元一次不等式组.【例2】（2015•黄冈）解不等式组：2𝑥3𝑥−2①2𝑥−13≥12𝑥−23②【解析】由①得,x＜2,由②得,x≥-2,故不等式组的解集为:-2≤x＜2．【方法小结】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解.”的原则是解答此题的关键.知识梳理【例3】（2015•福建）解不等式组2𝑥+5≥33(𝑥−2)＜2𝑥−4，并把解集在数轴上表示出来（图9-3-12）.图9-3-12图9-3-13知识梳理【解析】2𝑥+5≥3①3(𝑥−2)＜2𝑥−4②解①得：x≥-1.解②得：x＜2．不等式组的解集是：-1≤x＜2．解集在数轴上表示如图9-3-13所示.【方法小结】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断.要注意x是否取得到,若取得到则x在该点是实心的.反之x在该点是空心的.实战演练（2015•金华）解不等式组5𝑥−3＜4𝑥4(𝑥−1)+3≥2𝑥答案：12≤x＜3.知识梳理2.（2015•乐山）求不等式组3𝑥−7＜22𝑥+3≥1的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来（如图9-3-14所示）.图9-3-14图9-3-15知识梳理答案：-1≤x＜3．解集如图9-3-15所示.考点3:一元一次不等式组的整数解.【例4】（2015•天水）不等式组2𝑥+1＞03𝑥−12≤2𝑥+13的所有整数解是_______________.【解析】2𝑥+1＞0①3𝑥−12≤2𝑥+13②解不等式①得，x＞−12.解不等式②得,x≤1,所以不等式组的解集为−12＜x≤1,所以原不等式组的整数解是0，1．故答案为：0，1．0，1知识梳理【方法小结】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间；大于大数小于小数无解.实战演练1.(2015•邵阳)不等式组2𝑥+1＞−3−𝑥+3≥0的整数解的个数是（）.A．3B．5C．7D．无数个B2.(2015•十堰)不等式组𝑥≤3𝑥+2𝑥−1＜2−2𝑥的整数解是____________.-1，0知识梳理考点4：一元一次不等式组的应用.【例5】（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益.为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书.经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）.（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？知识梳理（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案.【解析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，可得：20𝑥+40𝑦=152020𝑥−20𝑦=440，解得：𝑥=40𝑦=18.答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：𝑥+𝑦+20≥7240𝑥+18(𝑥+20)≤2000，解得：26≤x≤82029，知识梳理因为取整数，所以x取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本.【方法小结】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组.实战演练（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习知识梳理机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元.（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？知识梳理答案：解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意得：𝑥−3𝑦=6002𝑥+3𝑦=8400，解得：𝑥=3000𝑦=800.则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；（2）设购买平板电脑x台，学习机（100-x）台，根据题意得：100−𝑥≤1.7𝑥3000𝑥+800(100−𝑥)≤168000，解得：37.03≤x≤40，正整数x的值为38，39，40，当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，方案1：购买平板电脑知识梳理38台，学习机62台，费用为114000+49600=163600（元）；方案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费用为117000+48800=165800（元）；方案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+48000=168000（元），则方案1最省钱.课堂练习1.（2015•天津）解不等式组𝑥+3≥6①2𝑥−1≤9②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）不等式①