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第九章不等式与不等式组9.1.2不等式的性质教学新知性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变变.知识要点2.运用不等式解决有关的问题，初步认识一元一次不等式的应用价值。1.理解不等式的性质，会解简单的不等式，并能在数轴上表示出解集。知识梳理知识点：不等式的性质文字语言符号语言性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果a＞b，c＞0.那么ac＞bc，（或𝑎𝑐＞𝑏𝑐）.性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变变.如果a＞b，c＜0.那么ac＜bc，（或𝑎𝑐＜𝑏𝑐）.知识梳理【例1】已知x＜y，试用“＞”或“＜”，并说明理由.(1)x+5______y+5；(2)3x______3y；(3)–3x______－3y；【讲解】(1)在已知不等式x＜y两边同时加上5根据不等式的性质1，在“不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变”．故有x+5y+5．(2)在已知不等式x＜y两边同时乘以3根据不等式的性质2，在“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”．故有3x＜3y．(3)在已知不等式x＜y两边同时乘以－3根据不等式的性质3，在“不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”．故有－3x＞－3y．＜＜＞知识梳理【方法小结】注意观察所要比较大小两个式子，是否可以看作是原来不等式的两边作哪种变形，是加上（或减去）同一个数（或式子），或是在原来不等式的两边同时乘（或除以）同一个数，然后依据不等式的性质确定不等号的方向是否改变，便可比较出大小.【例2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化为𝑥＞a或𝑥＜a的形式。（1）𝑥-7＜0；（2）12𝑥＜－12𝑥＋15；（3）2𝑥＞－5；（4）－15𝑥＜－1.知识梳理【讲解】（1）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上7，得𝑥＜7；（2）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上12𝑥，所以得𝑥＜15；（3）根据不等式基本性质2，在原不等式的两边都除以2（或者乘12），得𝑥＞－52；（4）根据不等式基本性质3，在原不等式的两边都乘－5（除以－15），得𝑥＞5.知识梳理【方法小结】利用不等式的性质1可简化为“移项|；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向.【小练习】1.下列不等式变形正确的是（）.A.由4x-1≥0得4x＞1B.由5x＞3得x＞3C.由𝑦2＞0得y＞0D.由-2x＜4得x＜-2C知识梳理2.若x＜y，利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”.（1）x+2______y+2;（2）x-a______y-a;（3）1-2x______1-2y．＜＞＜3.根据不等式性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（1）x＞12x-6；（2）-0.3x＜-1.5．答案：（1）原不等式的两边同时减去12x，得12x＞-6，不等式的两边同时乘以2，得x＞-12；（2）在原不等式的两边同时除以-0.3，不等号的方向改变，即x＞5．知识梳理4.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）x+3＞5；（2）-3x＞9．答案：（1）解：根据不等式的性质1，不等式两边都减3得x+3-3＞5-3，x＞2，这个不等式的解集在数轴上的表示为（图9-1-15）；（2）根据不等式的性质2，不等式两边都除以-3得x＜-3，这个不等式的解集在数轴上的表示为（图9-1-16）.图9-1-15图9-1-16知识梳理中考在线考点：不等式的性质【例】（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（）.A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b【解析】A.在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；B.在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误；C.当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，C知识梳理故本选项正确；D.在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误.故选：C．【方法小结】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.实战演练1.（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（）.A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得-2a＞-2bC．由a＞b得-a＜-bD．由a＞b得a-2＜b-2C知识梳理2.（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）.A．m+2＞n+2B．2m＞2nC．𝑚2＞𝑛2D．m2＞n2D课堂练习1.如果a＞b，那么不等式变形正确的是（）.A.a-2＜b-2B.0.5a＜0.5bC.-2a＜-2bD.-a＞-b2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空.（1）3a____3b；（2）a-8____b-8；（3）-2a____-2b；（4）𝑎3____𝑏3；（5）-4.5b+1____-4.5a+1C＞＜＞＞＜3.某不等式的解集如图9-1-17，则这个解集用不等式表示为_________.x≤3课堂练习图9-1-174.判断对错，并说明理由.（1）∵a＜b，∴a-b＜b-b；（2）∵a＜b，∴𝑎2＜𝑏2；（3）∵a＜b，∴-2a＜-2b；（4）∵-2a＞0，∴a＞0；（5）若a＜b，且c为有理数，则ac2≤bc2．课堂练习答案：解：（1）∵a＜b，不等式的两边都减b，不等号的方向不变，∴a-b＜b-b，故（1）正确；（2）∵a＜b，不等式的两边都乘以12，不等号的方向不变，∴𝑎2＜𝑏2，故（2）正确；（3）∵a＜b，不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，∴-2a＞-2b，故（3）正确；（4）∵-2a＞0，两边都除以-2，不等号的方向改变，∴a＜0，故（4）错误；（5）若a＜b，且c为有理数，两边都乘以一个非负数，不等号的方向不变，则ac2≤bc2，故（5）正确.课堂练习讲评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，同时还要注意c2是个非负数.5.用a＞b，用“＞”或“＜”填空．（1）a+3____b+3；（2）a-5____b-5；（3）𝑎5____𝑏5；（4）−𝑎7____-𝑏7；（5）3-a____3-b；（6）-18-a____-18-b．＞＜＞＞＜＜课堂练习答案：（1）＞；（2）＞；（3）＞；（4）＜；（5）＜；（6）＜.讲评：主要考查了不等式的基本性质.（1）（2）（3）（4）直接利用不等式的基本性质填写即可，（5）可看作这样变化而来的：a＞b，两边同乘以-1，得-a＜-b，两边再同时加上3，得3-a＜3-b；（6）a＞b，两边同乘以-1，得-a＜-b，两边再同时加上-18即可.6.利用不等式性质求不等式解集，并把解集在数轴上表示.（1）3x-1＞4;（2）3x＜5x-4;（3）23x+2≤1;（4）1-12x≤3．课堂练习答案：（1）x＞53（如图9-1-18）；（2）x＞2（如图9-1-19）；（3）x≤-32（如图9-1-20）；（4）x≥-4（如图9-1-21）.图9-1-18图9-1-19图9-1-21图9-1-20课堂练习讲评：本题考查了不等式性质的应用.（1）两边都加1除以3即可求得不等式的解集；（2）两边同时减去5x后合并同类项、系数化1后即可得到答案；（3）两边同时减去2后乘以32即可求解；（4）两边同时减1，乘以-2即可.7.比较3x2-2x-1与2x2-2x-5的大小.答案：解：（3x2-2x-1）-（2x2-2x-5）=x2+4．∵x2≥0，∴x2+4＞0，∴3x2-2x-1＞2x2-2x-5．讲评:本题考查了不等式的性质.这种比较两个数大小的方法称为“作差法”.课后习题1.下列不等式变形正确的是（）.A．由4x-1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞3C．由𝑦2＞0得y＞0D．由-2x＜4得x＜-22.若m＞n，则下列不等式中成立的是（）.A.m+a＜n+bB.ma＜nbC.ma2＞na2D.a-m＜a-n3.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图9-1-22所示，则下列不等式成立的是（）.A.ab＞cbB.ac＞bcC.a+c＞b+cD.a+b＞c+bCDA课后习题图9-1-224.若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）.①a+2＞b+2；②ac＜bc；③-2a＞-2b；④3-a＜3-b．A．①②B．③④C．②③D．①④5.若x＜y，利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：（1）x+2_____y+2；（2）x-a_____y-a；（3）1-2x_____1-2y．D＞＜＜课后习题6.根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x-3；（3）15x＜25答案：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，得x+7-7＞9-7，即x＞2；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，得6x-5x＜5x-5x-3，即x＜-3；（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，得x＜2.7.若a＞b，且c为有理数，则ac2______bc2.≥课后习题8.若不等式（2k-1）x＜2k-1的解集是x＞1,则k的范围是_______.9.若关于x的不等式12（x-m）＞3-32m的解集为x＞3,则m=______.k＜123210.说明下列不等式的变形依据．①若3＜x+2，则x＞1．②若12x＜-1，则x＜-2．③若-32x＞-6，则x＜4．④若-3x＞2，则x＜-23．⑤若2x+3＞-7，则x＞-5．⑥若-2x+3＜x+1，则x＞23课后习题答案：①根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2；②根据不等式的性质2，不等式的两边同时乘以2；③根据不等式的性质3，不等式的两边同除以-32；④根据不等式的性质3，不等式的两边同除以-3；⑤先根据不等式的性质1，不等式的两边同减去3，再根据不等式的性质2，不等式的两边同除以2；⑥先根据不等式的性质1，不等式的两边同减去x-3，再根据不等式的性质3，不等式的两边同除以-2.11.在数轴上表示出下列不等式的解集：（1）x≥-2；（2）5x-4≤7x-1；（3）12-3x≥3（2x-3）．课后习题答案：解：（1）x≥-2；如图9-1-23所示；（2）x≥-32，如图9-1-24所示；（3）x≤73，如图9-1-25所示.图9-1-23图9-1-24图9-1-25课后习题12.张华在进行不等式变形时遇到不等式b＜-b，他将不等式两边同时除以b得1＜-1，这显然是不成立，你能解释这是为什么吗？你能求出b的取值范围吗？答案：解：因为不知道b的正负，所以将不等式两边同时除以b，不等号的方向不知道改变不改变.张华把b看成大于0，所以才得出错误的结论.当b＜0时，由1＞-1得b＜-b．13.某商店在举办促销活动期间，甲乙两品牌的运动鞋均打6折．打折后，甲品牌运动鞋的价格比乙品牌运动鞋的价格低，但课后习题不低于乙品牌运动鞋价格的45．小明说：这说明了甲品牌的运动鞋的原价比乙品牌的运动鞋的原价低，且不低于乙品牌的45．你认为小明的想法正确吗？为什么？利用不等式的性质说明.答案：解：小明的想法正确，理由为：设甲乙两品牌的运动鞋价钱分别为x，y，根据题意得：45×60%y≤60%x＜60%y，即4y≤5x＜5y，则甲品牌的运动鞋的原价比乙品牌的运动鞋的原价低，且不低于乙品牌的45。