搜索
第八章二元一次方程组8.2消元——解二元一次方程组（2）中国古算题：鸡兔同笼今有鸡兔同笼上有三十五头下有九十四足问鸡兔各几何课题引入解：设鸡有x只，兔有y只,列出二元一次方程组x＋y＝352x＋4y＝94课题引入除了代入消元法外，还有用其他方法进行求解呢？x＋y＝35①2x＋4y＝94②x＋y＝35①x＝35−y③式③代入式②得:2(35−y)＋4y＝94y＝12解：𝑥=23𝑦=12教学新知x＋y＝35①2x＋4y＝94②式①乘以2得：2x＋2y＝70③式②减去式③得:2y＝24y＝12解：𝑥=23𝑦=12x＋y＝35①知识要点2.仔细观察二元一次方程组的特征，选择合适的方法进行消元，训练学生的运算技巧。1.掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解二元一次方程组。知识梳理知识点：用加减法解二元一次方程组当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.【例】用加减法解二元一次方程组(1)2𝑥−5𝑦=73𝑦+2𝑥=−1(2)8𝑥+9𝑦=7317𝑥−3𝑦=74(3)4𝑥+3𝑦=33𝑥−2𝑦=15知识梳理【讲解】方程组（1）未知数x的系数相等，两个方程直接相减就可消去x；方程组（2）中第二个方程组两边都乘3，再加上第一个方程即可；方程组（3）中观察x和y两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以应选择消去y，即把第一个方程的两边都乘2，得8x+6y=6，第二个方程的两边都乘3，得9x-6y=45，两个方程相加即可.（1）2𝑥−5𝑦=7①3𝑦+2𝑥=−1②（直接加减消元）②-①，得8y=-8，y=-1.把y=-1代入①，得2x+5=7，2x=2，x=1.所以𝑥=1𝑦=−1。知识梳理（3）4𝑥+3𝑦=3①3𝑥−2𝑦=15②（2）8𝑥+9𝑦=73①17𝑥−3𝑦=74②（将方程变形后加减消元）②×3，得51x-9y=222.③①+③，得59x=295，解得x=5.把x=5代入①，得40+9y=73，9y=33，y=113.所以𝑥=5𝑦=113。知识梳理①×2，得8x+6y=6.③②×3，得9x-6y=45.④③+④，得17x=51，x=3.把x=3代入①，得12+3y=3，3y=-9，y=-3.所以𝑥=3𝑦=−3。【方法小结】选准消元对象是解二元一次方程组的关键.当同一未知数的两个系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单.知识梳理【小练习】1.方程组3𝑥−5𝑦=6①2𝑥−3𝑦=4②将②×3-①×2得（）.A.-3y=2B.4y+1=0C.y=0D.x-2y=22.在方程y=kx+b中，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y=3，试求k和b的值．C知识梳理答案：把x=1,y=-1；x=-1,y=3代入方程得：𝑘+𝑏=−1①−𝑘+𝑏=3②①+②,得2b=2，b=1.把b=1代入①，得k+1=-1，k=-2.所以k的值为-2，b的值为1.3.已知|2x+3y+5|+（3x+2y-25）2=0，求x-y的值。答案：解：因为|2x+3y+5|+（3x+2y-25）2=0，所以2𝑥+3𝑦=−5①3𝑥+2𝑦=25②①×3，得6x+9y=-15③.②×2，得6x+4y=50④.③-④，得5y=-65，y=-13.把y=-13代入①，得2x-39=-5，2x=34，x=17.所以x-y=17-(-13)=17+13=30.知识梳理知识点2：用适当的方法解二元一次方程方程组.【例】解方程组：（1）2𝑥+𝑦=1.50.8𝑥+0.6𝑦=1.3（2）𝑥+2𝑦=33𝑥−2𝑦=5【讲解】（1）方程组第一个方程中y的系数为1,选择用代入消元法或加减消元法均可以:（2）方程组中y的系数互为相反数,选择用加减消元法较简单.（1）2𝑥+𝑦=1.5①0.8𝑥+0.6𝑦=1.3②知识梳理法1：（代入法）由①，得y=1.5-2x，③.将③代入②，得0.8x+0.6(1.5-2x)=1.3，0.8x+0.9-1.2x=1.3，-0.4x=0.4，x=-1.将x=-1代入③，得y=1.5-2×(-1)=1.5+2=3.5.所以𝑥=−1𝑦=3.5。法2：（加减法）①×0.6，得1.2x+0.6y=0.9，③.②-③，得-0.4x=0.4x，x=-1.将x=-1代入①，得-2+y=1.5，y=3.5.所以𝑥=−1𝑦=3.5。知识梳理①+②，得4x=8，x=2.将x=2代入①，得2+2y=3，2y=1，y=12.所以𝑥=2𝑦=12。【方法小结】代入消元法和加减消元法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，我们应根据具体情况，选择适合它的解法.【小练习】1.方程组3𝑥−4𝑦=7①9𝑥−10𝑦+25=0②的最简便的解法是（）.C知识梳理A.由①式得x=73+4y，再代入②式B.由②式得y=25+10𝑥10，再代入①式C.①×3得③式，再将③式与②式相减D.由②式得9x=10y-25，再代入①式2.若单项式2𝑥𝑚−3𝑛𝑦1−𝑛与−18𝑥𝑛+3𝑦𝑚+8的和仍是单项式，则m=_____，n=_________.-5-2知识梳理用合适的方法解方程组：(1)𝑥=2𝑦2𝑥−3𝑦=2(2)3𝑥+2𝑦=35𝑥−6𝑦=−23答案：（1）𝑥=4𝑦=2(代入法）（2）𝑥=−1𝑦=3（加减法）中考在线考点：解二元一次方程组的解.知识梳理【例1】（2015•广州）已知a，b满足方程组𝑎+5𝑏=123𝑎−𝑏=4，则a+b的值为（）.A.-4B.4C.-2D.2【解析】方程组𝑎+5𝑏=12①3𝑎−𝑏=4②①+②，得4a+4b=16.4(a+b)=16，a+b=4.故答案为B.【方法小结】仔细观察方程组，直接将两式相加即可，本题体现了解决数学问题的重要思想——整体思想.B知识梳理【例2】（2015•荆州）解方程组：3𝑥−2𝑦=−1①𝑥+3𝑦=7②【解析】②×3，得：3x+9y=21，③.③-①，得11y=22，即y=2.把y=2代入②，得x=1.所以这个方程组的解为𝑥=1𝑦=2。【方法小结】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.知识梳理【例3】（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=.【解析】根据题中的新定义化简已知等式得：𝑎+2𝑏=5①4𝑎+𝑏=6②②×2，得8a+2b=12，③.③-①，得7a=7，a=1.把a=1代入①，得1+2b=5，b=2.则2*3=4a+3b=4+6=10，故答案为：10．【方法小结】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键.10知识梳理实战演练1.（2015•河北）利用加减消元法解方程组2𝑥+5𝑦=−10①5𝑥−3𝑦=6②，下列做法正确的是（）.A.要消去y，可以将①×5+②×2B.要消去x，可以将①×3+②×（-5）C.要消去y，可以将①×5+②×3D.要消去x，可以将①×（-5）+②×2D知识梳理2.（2015•巴中）若单项式2𝑥2𝑦𝑎+𝑏与−13𝑥𝑎−𝑏𝑦4是同类项，则a，b的值分别为（）.A.a=3,b=1B.a=-3,b=1C.a=3,b=-1D.a=-3,b=-13.（2015•泉州）方程组𝑥−𝑦=42𝑥+𝑦=−1的解是_____________.A𝑥=1𝑦=−34.（2015•咸宁）如果实数x，y满足方程组𝑥−𝑦=−122𝑥+2𝑦=5，则𝑥2-𝑦2的值为_______.−54知识梳理5.（2015•赤峰）解二元一次方程组：2𝑥−𝑦=73𝑥+2𝑦=0答案：𝑥=2𝑦=−3课堂练习1.方程组3𝑥+4𝑦=53𝑥−7𝑦=6中x的系数特点是___________，适合用______法较简单.2.方程组2𝑥+5𝑦=13𝑥−5𝑦=4中y的系数特点是____________，适合用________法较简单.3.方程组𝑥−𝑦=3①2𝑥+3𝑦=−4②若用加减消元法解，可将方程①变形为____________③，这时方程②与③相______,消去未知数_______，得到一元一次方程.相等减法互为相反数加法2x-2y=6减x课堂练习4.解方程组4𝑥−2𝑦=23𝑥+2𝑦=5适合用_____________法，解方程组4=2𝑦3𝑥+2𝑦=5适合用_______________法.5.若34𝑥5𝑚+2𝑛+2𝑦3与−43𝑥6𝑦3𝑚−2𝑛−1的和是单项式，你能求出m，n的值吗？答案：解：根据题意，得5𝑚+2𝑛+2=6①3𝑚−2𝑛−1=3②①+②，得8m+1=9，即m=1.把m=1代入①，得5+2n+2=6，即n=12.所以m=1，n=12。加减消元代入消元课堂练习讲评：根据两个单项式的和是单项式这一条件，可知这两个单项式是同类项，即x，y的指数分别相同，列出方程组即可求解.6.如果𝑥=3𝑦=−2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=1𝑎𝑥−𝑏𝑦=5的解,求𝑎2014−2𝑏2015的值.答案：解法1：由𝑥=3𝑦=−2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=1𝑎𝑥−𝑏𝑦=5的解，得3𝑎−2𝑏=13𝑎+2𝑏=5解这个方程组，得𝑎=1𝑏=1当a=1，b=1时，𝑎2014−2𝑏2015=12014−2×12015=−1。课堂练习解法2：解方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=1①𝑎𝑥−𝑏𝑦=5②①+②得2ax=6，①-②得2by=-4，x=3，y=-2分别代入，得a=1，b=1.当a=1，b=1时，𝑎2014−2𝑏2015=12014−2×12015=−1。讲评：把𝑥=3𝑦=−2代入方程组，可以得到关于a，b的二元一次方程组，解这个方程组，可得a，b的值；也可以先解方程组，再把x=3,y=-2分别代入求a，b的值.课堂练习7.已知方程组𝑥+𝑦=33𝑥−𝑦=−7和方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=7𝑎𝑥−𝑏𝑦=−9的解相同，求a、b．答案：解方程组𝑥+𝑦=33𝑥−𝑦=−7,得𝑥=−1𝑦=4代入方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=7𝑎𝑥−𝑏𝑦=−9，得−𝑎+4𝑏=7−𝑎−4𝑏=−9，解得𝑎=1𝑏=2。答：a=1，b=2．讲评：因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值.课后习题1.解方程组2𝑥+3𝑦=7𝑥+3𝑦=9，①-②得（）.A．3x=2B．3x=-2C．x=2D．x=-22.用加减法解方程组2𝑥+3𝑦=13𝑥−2𝑦=10有下列四种变形，其中正确的是（）.A.4𝑥+6𝑦=19𝑥−6𝑦=10B.6𝑥+3𝑦=36𝑥−2𝑦=20C.4𝑥+6𝑦=29𝑥−6𝑦=30D.6𝑥+9𝑦=36𝑥−4𝑦=10DC课后习题3.有加减法解方程3𝑥−2𝑦=10①4𝑥−𝑦=15②时,最简捷的方法是（）.A.①×4-②×3，消去xB.①×4+②×3，消去xC.②×2+①，消去yD.②×2-①，消去yD4.解以下两个方程组：①𝑦=2𝑥−17𝑥+5𝑦=8，8𝑠+6𝑡=2517𝑠−6𝑡=48，较为简便方法的是（）.A．①②均用代入法B．①②均用加减法C．①用代入法，②用加减法D．①用加减法，②用代入法C课后习题5.用加减法解下列方程组：（1）2𝑥+𝑦=2−𝑥+𝑦=5（2）𝑥−2𝑦=3𝑥+2𝑦=6（3）𝑥+𝑦=36𝑥+2𝑦=50（4）5𝑥−6𝑦=12𝑥−6𝑦=10（5）2𝑎−𝑏=83𝑎+2𝑏=5（6）2𝑥+3𝑦=−53𝑥−4𝑦=18答案：（1）𝑥=−1𝑦=4（2）𝑥=4.5𝑦=0.7