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第八章二元一次方程组8.2消元——解二元一次方程组（1）中国古算题：鸡兔同笼今有鸡兔同笼上有三十五头下有九十四足问鸡兔各几何课题引入解：设鸡有x只，兔有y只,列出二元一次方程组x＋y＝352x＋4y＝94课题引入除了代入消元法外，还有用其他方法进行求解呢？x＋y＝35①2x＋4y＝94②x＋y＝35①x＝35−y③式③代入式②得:2(35−y)＋4y＝94y＝12解：𝑥=23𝑦=12教学新知x＋y＝35①2x＋4y＝94②式①乘以2得：2x＋2y＝70③式②减去式③得:2y＝24y＝12解：𝑥=23𝑦=12x＋y＝35①知识要点2.能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路，体会化归思想。1.会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组。知识梳理知识点：代入消元法解二元一次方程组.1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以求出一个未知数，然后在求另一个未知数.这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.代入消元法概念：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现知识梳理消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3.代入法解二元一次方程组的一般步骤并板书：①变形（选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个代数式）；②代入求解（把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出未知数的值）；知识梳理③回代求解（把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值）；④写解（用𝑥=𝑎𝑦=𝑏的形式写出方程组的解）。【例1】把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：（1）32x+2y=1；（2）14x+74y=2；（3）5x−3y=x+2y；（4）2（3y−3）=6x+4知识梳理【讲解】各方程将x看做已知数求出y即可.（1）去分母得：3x+4y=2，解得：y=2−3𝑥4；（2）去分母得：x+7y=8，解得：y=8−𝑥7；（3）移项合并得：5y=4x，解得：y=45x；（4）去括号得：6y-6=6x+4，解得：y=5+3𝑥3。【方法小结】用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是代入法解二元一次方程组的关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b)的形式，其中a，b为常数，a≠0.知识梳理【例2】用代入法解方程组2𝑥−𝑦=−3①4𝑥+5𝑦=1②【讲解】要考虑将方程组中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，方程组①中y的系数为-1，因此可将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入②中求解.由①，得y=2x+3③.把③代入②，得4x+5(2x+3)=1，4x+10x+15=1，14x=-14，x=-1.把x=-1代入③，得y=2×(-1)+3=-2+3=1.所以这个方程组的解是𝑥=−1𝑦=1。知识梳理【方法小结】注意：（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的形式的方程时，可以直接利用代入消元法求解；（2）若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便；（3）若方程组中所有方程里的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便.【例3】小明上超市买饮料，他看中了盒装牛奶和冰茶，他买了3盒牛奶和4瓶冰茶，共花了29元，已知一盒牛奶和一瓶冰茶价格和为8.5元．一盒牛奶和一瓶冰茶分别需要多少元？知识梳理【讲解】设一盒牛奶x元，一瓶冰茶y元，根据题意可得，3盒牛奶+4瓶冰茶=29元，一盒牛奶+一瓶冰茶=8.5元，据此列方程组3𝑥+4𝑦=29①𝑥+𝑦=8.5②。由②，得x=8.5-y，③.把③代入①，得3(8.5-y)+4y=29，解这个方程得，y=3.5.把y=3.5代入③，得x=5.所以这个方程组的解是𝑥=5𝑦=3.5。答：一盒牛奶5元，一瓶冰茶3.5元.知识梳理【方法小结】读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组求解.【小练习】方程x+5y+4=0，若用含有x的代数式表示_____________；若用含有y的代数式表示x为______________.用代入法解方程组：（1）𝑦=𝑥+37𝑥+5𝑦=9（2）4𝑥−3𝑦=22𝑥+𝑦=6−4−𝑥5-5y-4知识梳理【参考答案】：（1）𝑥=−0.5𝑦=2.5（2）𝑥=2𝑦=23.一个由师生共30人组成的旅游团队，到某景区旅游观光．已知景区的门票销售标准是：成人门票50元/张，学生门票20元/张．该旅游团购买门票共花费了720元．问该团队老师和学生分别有多少人？知识梳理答案：解：设该团有老师x人，学生y人，依题意得𝑥+𝑦=30①50𝑥+20𝑦=720②由①，得y=30-x，③.把③代入②，得50x+20(30-x)=720，解这个方程，得x=4.把x=4代入③，得y=26.所以这个方程组的解为𝑥=4𝑦=26。答：该团队有老师4人，学生26人。知识梳理中考在线考点：解二元一次方程组.【例1】（2015•贵阳）方程组𝑥+𝑦=12𝑦=2的解为________。【解析】𝑥+𝑦=12①𝑦=2②把②代入①得x+2=12，x=10.并x=10.所以这个方程组的解为𝑥=10𝑦=2。知识梳理【例2】（2015•赤峰）解二元一次方程组：2𝑥−𝑦=73𝑥+2𝑦=0【解析】2𝑥−𝑦=7①3𝑥+2𝑦=0②由①，得y=2x-7，③.把③代入②，得3x+2(2x-7)=0.解这个方程，得x=2.把x=2代入③，得y=-3.所以这个方程组的解为𝑥=2𝑦=−3。【方法小结】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤.知识梳理实战演练：1.（2015•重庆）解方程组𝑦=2𝑥−4①3𝑥+𝑦=1②【参考答案】：𝑥=1𝑦=−2。2.(2015•南充)已知关于x,y的二元一次方程组2𝑥+3𝑦=k𝑥+2𝑦=−1的解互为相反数，则k的值是_____________.-1课堂练习1.用代入法解方程组2𝑥−7𝑦=8①𝑦−2𝑥=4②可以由_____得___________③,把③代入____中，得一元一次方程__________________，解得____________，再把求得的值代入③中，求得_________，从而得到原方程组的解为__________________.2.若-2x+y=5，则y=_________.（用含x的式子表示).②y=4+2x①2x-7(4+2x)=8x=-3y=-2𝑥=−3𝑦=−25+2x课堂练习3.方程组𝑥=𝑦2𝑥+𝑦=−3的解为___________.1.若方程组2𝑎−3𝑏=133𝑎+5𝑏=30.9的解是𝑎=8.3𝑏=1.2，则方程组2(𝑥+2)−3(𝑦−1)=133(𝑥+2)+5(𝑦−1)=30.9的解是（）.A.𝑥=6.3𝑦=2.2B.𝑥=8.3𝑦=1.2C.𝑥=10.3𝑦=2.2D.𝑥=10.3𝑦=0.2𝑥=−1𝑦=−1A课堂练习讲评：观察两个方程组，可将x+2、y-1分别看成a、b，可得到关于x、y的方程组：.𝑥+2=8.3𝑦−1=1.2进而可求解。4.已知|a+b-8|+（a-3b）2=0，求a、b.答案：解：依题意得：𝑎+𝑏−8=0①𝑎−3𝑏=0②由②，得a=3b，③.把③代入①，得3b+b-8=0.解这个方程，得b=2.把b=2代入③，得a=6.所以这个方程组的解为𝑎=6𝑏=2。课堂练习讲评：本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”，解出a、b的值.5.在等式y=kx+b中，当x=1时，y=2，当x=-1时，y=-4，求当x=-2时，y的值.答案：依题意得：𝑘+𝑏=2−𝑘+𝑏=−4，解这个方程组得：𝑘=3𝑏=−1，所以等式为y=3x-1，当x=-2时，y=3×（-2）-1=-7，答：y的值为-7．课堂练习讲评：本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的计算能力.先代入得出方程组，求出方程组的解，得出等式，最后把x=-2代入求出即可.6.如图8-2-1，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的长方形，求长方形ABCD的长和宽.图8-2-1课堂练习答案：解：设小长方形的长和宽分别为x、ycm，依题意得4𝑥+7𝑦=682𝑥=5y，解这个方程组，得𝑥=10𝑦=4。5×4=20（cm），10+4=14（cm）.答：长方形ABCD的长宽分别为20cm,14cm．讲评：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些隐含条件，找出合适的等量关系，列出方程组.设小长方形的长和宽分别为x、ycm，根据周长为68cm可以列出方程4x+7y=68，根据图中信息可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出结果.课后习题1.已知二元一次方程2x-y=1，用y的代数式表示x为（）.A.x=1+𝑦2B.x=1−𝑦2C.y=1-2xD.y=2x-12.用代入法解方程组𝑦=1−𝑥𝑥−2𝑦=4时，代入正确的是（）.A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=43.方程组2𝑥−𝑦=53𝑥−2𝑦=8，消去y后得到的方程是（）.A.3x-4x-10=0B.3x-4x+5=8C.3x-2(5-2x)=8D.3x-4x+10=8DCD课后习题4.用代入法解二元一次方程组3𝑥+4𝑦=2①2𝑥−𝑦=5②时，最好的变式是（）.A.由①得𝑥=2−4𝑦3B.由①得y=2−3𝑥4C.由②得𝑥=𝑦+52D.由②得y=2x-55.用代入法解方程组2𝑥−𝑦=3①3𝑥+2𝑦=1②,下列变形不正确的是（）.A.由①得y=2x-3B.由②得y=12+32𝑥C.由①得x=32+12𝑦D.由②得x=13−23𝑦DB课后习题6.二元一次方程组𝑥+𝑦=102𝑥−𝑦+4=0的解是（）.A.𝑥=2𝑦=8B.𝑥=10𝑦=8C.𝑥=8𝑦=2D.𝑥=7𝑦=37.用代入法解方程组3𝑥+4𝑦=19𝑥−𝑦=4答案：𝑥=5𝑦=1。A课后习题8.怎样运用一个字母代数式表示另一个字母呢？如：4x-3y=20，用含y的式子表示x．解：移项(把常数项，含y的式子放在方程等式右边），得4x=20-3y．两边除以4，得x=-43y+5．以上过程对吗？为什么？课后习题答案：解：方程组𝑥−2𝑦=−4①2𝑥+3𝑦=13②由①得：x=2y-4③，把③代入②得：4y-8+3y=13，即y=3，把y=3代入③得：x=2，则原式=(-2)3=-8.9.若一个长方形周长是46cm，若宽的3倍比长多5cm，求长方形的长和宽各是多少厘米？答案：解：设长方形的长是xcm，宽是ycm，根据题意得：𝑥+𝑦×2=463𝑦=𝑥+5，解得：𝑥=16𝑦=7，答：长方形的长是16cm，宽是7cm．课后习题10.已知方程组𝑎𝑥+5𝑦=15①4𝑥−𝑏𝑦=−2②，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为𝑥=−13𝑦=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为𝑥=5𝑦=4。（1）求a、b的值.（2）求原方程组的解.课后习题答案：解：（1）将𝑥=−13𝑦=−1代入方程组中的②得：-52+b=-2，解得：b=50.将𝑥=5𝑦=4代入方程组中的①得：5a+20=15，解得：a=-1．故a的值是-1，b的值是50．（2）把a=-1，b=50代入原方程组得−𝑥+5𝑦=15①4𝑥−50𝑦=−2②由①，得x=5y-15③.把③代入②，得4(5y-15)-50y=-2，20y-60-50y=-2，-30y=58，y=−2915.把y=−2915代入③，得课后习题x=5×(−2915)−15=−293−15=−743.所以原方程组的解为𝑥=−713𝑦=