七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件 沪教版五四制

9.16分组分解法整式乘法(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bnam+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)定义：这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。因式分解新知学习【注意】(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.(3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式典例讲析例：因式分解：⑴ayaxyx22解:原式=这个多项式的前两项用平方差公式分解后与后两项有公因式(x+y)可继续分解,这也是分组分解法中常见的情形.)())((yxayxyx))((ayxyx典例讲析例：因式分解：⑵2222cbaba解:原式=如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式.22)(cba))((cbacba例１把a2-ab+ac-bc分解因式分析：把这个多项式的前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b。解：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)—分组—组内提公因式—提公因式还有其他分组的方法吗？解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a+c)(a-b)例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的前两项与后两项分成两组，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=(2ax-10ay)+(-bx+5by）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)还有其他分组的方法吗？解法二：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-bx)+(5by-10ay)=x(2a-b)-5y(2a-b)=(2a-b)(x-5y)=(2ax-bx)+(-10ay+5by）例3把am+bm+an－cm+bn－cn分解因式.分析：把这个多项式的含ｍ的项和含ｎ的项组合分成两组，或把这个多项式的含ａ的项、含ｂ的项和含ｃ项分别组合分成三组，然后在组内提取公因式后再分解.解法一：am+bm+an-cm+bn-cn=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)=m(a+b-c)+n(a+b-c)=(a+b-c)(m+n)解法二：am+bm+an－cm+bn－cn=(am+an)+(bm+bn)－(cm+cn)=(m+n)(a+b－c)=a(m+n)+b(m+n)－c(m+n)在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。(1)分组；(2)在各组内提公因式；(3)在各组之间进行因式分解；(4)直至完全分解。分组规律：分解步骤：把下列各式分解因式：(1)20(x+y)+x+y(2)p-q+k(p-q)(3)5m(a+b)-a-b(4)2m-2n-4x(m-n)解：原式=20(x+y)+(x+y)=21(x+y)解：原式=(p-q)+k(p-q)=(p-q)(1+k)解：原式=5m(a+b)-(a+b)=(a+b)(5m-1)解：原式=2(m-n)-4x(m-n)=2(m-n)(1-2x)(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy解：原式=(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)=-2y(a-b+c)+x(a-b+c)=(a-b+c)(x-2y)还有其他分组的方法吗？(6)x2-x2y+xy2-x+y-y2解：=(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y)=(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-xy-1)=(x-y)[(x-xy)+(y-1)]=(x-y)[x(1-y)-(1-y)]=(x-y)(1-y)(x-1)应如何分组？要保证分组能再分解.由b2+2ab=c2+2ac,得b2+2ab+a2=c2+2ac+a2即，（a+b)2=(a+c)2因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a+b＞0，a+c＞0所以a+b=a+c，得b=c所以△ABC为等腰三角形.学科综合应用已知a,b,c是△ABC的三边长，（1）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断△ABC的形状；（2）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关系，并说明理由.由b2+2ab=c2+2ac,得b2+2ab-c2-2ac=0（b2-c2)+(2ab-2ac)=0(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0(b-c)(b+c+2a)=0因为a＞0，b＞0，c＞0所以b+c+2a＞0所以b-c=0,即b=c所以△ABC为等腰三角形.解（1）解法一：解法二：学科综合应用已知a,b,c是△ABC的三边长，（1）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断△ABC的形状；（2）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关系，并说明理由.a2-b2+c2-2ac0因为a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2=(a-c)2-b2=[(a-c)+b][(a-c)-b]=(a+b-c)(a-c-b)=[(a+b)-c][a-(b+c)]解(2)而a,b,c是△ABC的三边所以a+bc，b+ca所以(a+b)-c0,a-(b+c)0所以[(a+b)-c][a-(b+c)]0即，a2-b2+c2-2ac0课堂练习把下列各式分解因式(1)a2-ab+3b-3a(2)x2-6xy+9y2-1(3)am-an-m2+n2(4)2ab-a2-b2+c2(5)a4b+2a3b2-a2b-2ab2(6)45am2-20ax2+20axy-5ay2(7)2(a2-3mn)+a(4m-3n)(8)x2+x-(y2+y)(1)=(a-b)(a-3)(2)=(x-3y+1)(x-3y-1)(3)=(m-n)(a-m-n)(4)=c+a-b)(c-a+b)(5)=ab(a+2b)(a+1)(a-1)(6)=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)(7)=(2a-3n)(a+2m)(8)=(x-y)(x+y+1)课后作业把下列各式分解因式：(1)x3y-xy3(2)4x2-y2+2x-y(3)a2+2ab+b2-ac-bc(4)a2-2ab+b2-m2-2mn-n2(5)4a2+4a-4a2b+b+1(6)ax2+16ay2-a-8axy(7)a(a2-a-1)+1(8)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)(1)=xy(x+y)(x-y)(2)=(2x-y)(2x+y+1)(3)=(a+b)(a+b-c)(4)=(a-b+m+m)(a-b-m-n)(5)=(2a+1)(2a+1-2ab+b)(6)=a(x-4y+1)(x-4y-1)(7)=(a-1)2(a+1)(8)=(bm+an)(am+bn)已知a,b,c为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边且满足条件a2-4bc-ab+4ac=0，求证△ABC为等腰三角形.课后作业证明：a2-4bc-ab+4bc=(a2-ab)+(-4bc+4ac)=a(a-b)+4c(a-b)=(a-b)(a+4c)∵a0,co,∴a+4c0，∴a-b=0即a=b，所以△ABC为等腰三角形.=0练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.1.若,则解:∵a2+b2-6a+2b+10=0∴a2-6a+9+b2+2b+1=0∴(a-3)2+(b+1)2=0∴a=3,b=-11．练习3)3(mma把下列各式分解因式：)1)(3(am3223babbaa2．))((22babababa2418321822234343()().abab3．练习把下列各式分解因式：2222babax4．))((baxbax3223babbaa))((22baba5．22144yxx6．).12)(12(yxyx练习把下列各式分解因式：8．1qppq7．)1)(1(pq46922nmm)32)(32(mnmn9.x2-y2+ax+ay(x+y)(x-y+a)练习把下列各式分解因式：10.(z2-x2-y2)2-4x2y210324mm)2)(5(22mm13．21)3(10)3(2baba)73)(33(baba14．练习把下列各式分解因式：15．3x2＋11x＋103x2＋11x＋1022442436mmaam练习把下列各式分解因式：16．)26)(26(22mammam2222244)12(mbmbmm17．)1)(14(mbbmm18．a4－50a2＋625练习把下列各式分解因式：(a＋5)2(a－5)219．16x4－72x2＋81(2x＋3)2(2x－3)2