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1第三章恒定磁场SteadyMagneticField恒定磁场基本方程·分界面上的衔接条件序磁感应强度磁通连续性原理∙安培环路定律磁矢位及边值问题磁位及边值问题镜像法电感磁场能量与力磁路下页返回Introduction3.0序导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。恒定磁场的知识结构。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。下页上页返回磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)H的旋度基本方程B的散度磁位()mϕ分界面衔接条件下页上页返回本章要求深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。了解磁路及其计算方法。下页上页返回3.1.1安培力定律(Ampere’sForceLaw)∫∫××=llRRII'2''0)d(dπ4ellFμ两个载流回路之间的作用力F3.1磁感应强度MagneticFluxDensity图3.1.1两载流回路间的相互作用力下页上页返回式中，为真空中的磁导率μ0∫′−′−×='3'0)(dπ4lIrrrrl'μ磁场力BlellF'×=××=∫∫∫lllRIRIμId)dπ4(d'2'0电场力EeFqRVqRV=′=∫′)dπ41(20ρε定义：磁感应强度∫×='2'0dπ4lRRIelB'μ单位T（Wb/m2）3.1.2毕奥—沙伐定律、磁感应强度(Biot-SavartLawandMagneticFluxDensity)力=受力电荷电场强度×下页上页返回力=受力电流磁感应强度×2毕奥－沙伐定律适用于无限大均匀媒质。VV′′−′−×′=∫′d)()(π430rrrrrJBμ体电流∫′′′−′−×′=SSd)()(π430rrrrrKBμ面电流下页上页返回∫′−′−×=lI30)(dπ4rrrrlμ∫×='2'0dπ4lRRIelB'μ线电流zzIBLLd)(π41223220∫−+=ρρμφ][π4222221210LLLLI+++=ρρρμ)sinsin(π4210ϕϕρμ+=I当时，∞→∞→21,LLφρμeBπ20I==×Reld=φθezsind=φαesindzφρezRd例3.1.1试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解:采用圆柱坐标系，取电流Idz，∫×=LRRI20dπ4elBμ式中222zR+=ρ下页上页返回图3.1.2长直导线的磁场例3.1.2真空中有一载流为I，半径为R的圆环，试求其轴线上P点的磁感应强度B。根据圆环电流对P点的对称性，0dsindd==yxBBBθrRθ/sin=)(π42πsindd220xRIB+=lμ解：元电流在P点产生的为lIdB20π4ddrIrelB×=μ)d(rIel图3.1.3圆形载流回路下页上页返回xlxRIel⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫dsin)(π4220θμ图3.1.4圆形载流回路轴线上的磁场分布xRxRRxRIe⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅+=π2)(π422220μxxRIRe2/32220)(2+=μθμsin)(π42πsindd220xRlIBx+=xxBeB=下页上页返回根据对称性,By=0)(π2dπ2dcosπ2dd22000yxxKyyxKxKBx+=⋅==μρρμαρμ解：取宽度dx的一条无限长线电流xB∫∞+∞−+−=)(dπ2220yxxKyμ020yKxeμ020−yKxeμ=B例3.1.3无限大导体平面通有面电流,试求磁感应强度B分布。zKe=K下页上页返回图3.1.5无限大电流片及B的分布3.2磁通连续性原理•安培环路定律表明B是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。VRzyxzyxVR′×′′′=∫′d),,(π4),,(20eJBμ3.2.1磁通连续性原理(MagneticFluxContinueTheorem)1.恒定磁场的散度可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。0=⋅∇BMagneticFluxContinueTheorem&Ampere’sCircuitalLaw进行散度运算后0=⋅∇B图3.2.1计算体电流的磁场下页上页返回32.磁通连续性原理表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。直角坐标系zByBxBzyxddd==3.磁感应线磁感应线穿过非闭合面S的磁通∫⋅=SΦSBd单位：Wb(韦伯)0≡⋅∇B根据∫⋅∇VVdB有0d=×lB磁感应线方程散度定理0d=⋅∫SBs图3.2.2B的通量Φ下页上页返回磁感应线的性质：图3.2.3导线位于铁板上方图3.2.4长直螺线管的磁场磁感应线是闭合的曲线;磁感应线不能相交；磁感应强处，磁感应线稠密，反之，稀疏。闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；下页上页返回图3.2.5一对反向电流传输线图3.2.6一对同向电流传输线图3.2.7两对反相电流传输线图3.2.8两对同向电流传输线下页上页返回3.2.2安培环路定律(Apere’sCircuitalLaw)1.恒定磁场的旋度zxyyzxxyzzyxzyxyBxBxBzBzByBBBBzyxeeeeeeB)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇在直角坐标系中∫′′′−′−×′′′=VVzyxd)(),,(π430rrrrJBμ（毕奥－沙伐定律）恒定磁场是有旋场⎩⎨⎧=×∇0)(0JrBμ（有电流区）（无电流区）旋度运算后，得到下页上页返回2.真空中的安培环路定律用斯托克斯定理∑∫==⋅nkklI10dμlB环路上的B仅与环路交链的电流有关吗？真空中的安培环路定律Il0dμ=⋅∫lBJB0μ=×∇B的旋度SJSBdd)(0⋅=⋅×∇∫∫SSμ等式两边取面积分思考当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；下页上页返回LKLBLBlΔ=Δ+Δ=⋅∫021dμlB根据对称性BBB==21=ByKe20μyKe20μ−0x0x例3.2.1试求无限大载流导板产生的磁感应强度B。解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋下页上页返回图3.2.9无限大载流导板4解：平行平面磁场,φρeBB)(=212221ππρρρρIII=⋅=′例3.2.2试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。2120π2dρρμρIBl==⋅∫lBφρρμeB210π2I=故10)1ρρ≤图3.2.11安培定律示意图安培环路定律Il′=⋅∫0dμlB下页上页返回图3.2.10同轴电缆22232230)(π2dρρρρμρ−−==⋅∫IBllBφρρρρρμeB22232230π2−−⋅=I得到21)2ρρρ≤IBl0π2dμρ==⋅∫lB得到φρμeπ20I=B22232232223222ρρρρρρρρ−−=−−−=′IIII,32)3ρρρ≤下页上页返回图3.2.12同轴电缆的磁场分布3.介质的磁化（magnetization）2）介质的磁化无外磁场作用时，介质对外不显磁性，∑==nii10m1）磁偶极子(magneticdipole)∑=≠nii10m在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，SmdI=Am2磁偶极矩(magneticdipolemoment)图3.2.14介质的磁化下页上页返回图3.2.13磁偶极子m=IdSdS转矩为Ti=mi×B，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。磁化强度（magnetizationIntensity）VniiVΔ=∑=→Δ10limmM（A/m）图3.2.15磁偶极子受磁场力而转动下页上页返回3）磁化电流体磁化电流MJ×∇=mnmeMK×=面磁化电流例3.2.3判断磁化电流的方向。有磁介质存在时，场中的B是自由电流和磁化电流共同作用，在真空中产生的。磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。下页上页返回4）磁偶极子与电偶极子对比下页上页返回模型极化与磁化电场与磁场电偶极子磁偶极子dpq=SmdI=MJ×∇=mnmeMK×=neP⋅=pσP-⋅∇=pρ54.有磁介质时的环量与旋度SMd)(00⋅×∇+=∫SIμμ==⋅∫Il0dμlB)(m0II+μSJdm00⋅+=∫sIμμ∫⋅+=lIlMd00μμ移项后Il=⋅−∫lMBd)(0μ定义：磁场强度MBH-0μ=A/m则有∑∫=⋅IllHd安培环路定律下页上页返回图3.2.16H与I成右螺旋关系图3.2.17中三条环路上的H相等吗？环量相等吗？图3.2.17H的分布与磁介质有关图3.2.16中环路L上任一点的H与I3有关吗？有磁介质存在时，重答上问。∑∫=⋅IllHd安培环路定律思考下页上页返回图3.2.16H与I成右螺旋关系5.B与H的关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中积分式对任意曲面S都成立，则JH=×∇恒定磁场是有旋场6.H的旋度ΗBμ=即μr—相对磁导率。=+=)(0MHBμ=+)1(m0χμHHHμμμ=r0∫∫⋅==⋅SlISJlHdd∫∫⋅=⋅×∇SSSJSHdd)(斯托克斯定律—磁化率。mχrμμμ0=H/m磁导率下页上页返回解:在镯环中,，为有限值，故H=0。∞→μHBμ=NIl=⋅∫lHdNIrH=⋅θ,φθeHrNI=φθμeBrNI0=例3.2.4一矩形截面的镯环，镯环上绕有N匝线圈，电流为I，如图示，试求气隙中的B和H。取安培环路的半径,且环路与I交链，21RrR图3.2.18镯环磁场分布忽略边缘效应下页上页返回解:平行平面磁场，且轴对称，故IHl==⋅∫ρπ2dlΗ例3.2.5有一磁导率为µ，半径为a的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气，磁导率为µ0，试求B，H与M的分布。磁场强度∞=ρρφ0π2eHI下页上页返回图3.2.19磁场分布导磁圆柱r=0及r=a处有磁化电流吗？两者关系如何？HBM−=0μaI⋅−ρρμμμφeπ200=BaI≤ρρμφ0π2e=∞ρρμφaIeπ20∞ρa0下页上页返回图3.2.20场量分布ImIm63.3.1基本方程(BasicEquations)构成方程HBμ=恒定磁场的基本方程表示为∫=⋅S0dSB（磁通连续原理）0=⋅∇BIl=⋅∫lHd（安培环路定律）JH=×∇恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。3.3基本方程、分界面衔接条件BasicEquationsandBoundaryCondition下页上页返回F2不能表示恒定磁场。02)(1≠=⋅∂∂=aaρρρρ)(1)b(2ρFρρρ∂∂=⋅∇2FF1可以表示恒定磁场。000)a(111=+=∂∂+∂∂=⋅∇yFxFyxF解：例3.3.1试判断能否表示为一个恒定磁场？ρρeFeeFabyaxxy=+=21)b()a(下页上页返回3.3.2分界面上的衔接条件（BoundaryCondition)1.B的衔接条件nnBB21=B的法向分量连续2.H的衔接条件H的切向分量不连续KHH=−2t1t(K=0时)2t1tHH=根据02→Δl,dIl=⋅∫lH得112t11tlKlHlHΔ=Δ−Δ0d=⋅∫SBs,由可得0→lΔ根据下页上页返回图3.3.1分界面上B的衔接条件图3.3.2分界面上H的衔接条件例.3.3.2分析铁磁媒质与空气分界面情况。图3.3.3铁磁媒质与空气分界面解：00tantan12201≈≈=ααμμα得由3.折射定律媒质均匀、各向同性，分界面K=02121tantanμμαα=折射定律表明只要，空气侧的B与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。o902≠α下页上页返回即yxxxyyHHeeeeH410222+=+=A/m)1230(0222yxeeHB+==μμT解:)86(50111yxeeHB+==μμKHHyy=−21由44812=−=−=KHHyy得10222==μxxBH0230μ=xB得xxBB21=由若面电流,答案有否变化，如何