1.1锐角三角函数第2课时正弦和余弦第一章1课堂讲解正弦余弦锐角三角函数的取值范围2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图,当Rt△ABC中的锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比便随之确定.此时,其他边之间的比也确定吗?与同伴进行交流.归纳在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.1知识点正弦正弦:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=.ABCAB的对边斜边Ð=例1如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.在Rt△ABC中,∵即∴BC=200×0.6=120.解:0.6200BC=sin,BCAAC=C1把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定132(中考·贵阳)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为()A.B.C.D.3如图,P是α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则α的正弦值为()A.B.C.D.512125121351351212512135134(2016·乐山)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是()A.sinB=B.sinB=C.sinB=D.sinB=ADABACBCADACCDAC2知识点余弦余弦:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.AACAB的邻边斜边Ð=要点精析:正弦、余弦的概念是类比正切得到的,其本质是两条线段的长度之比,没有单位,其大小只与角的大小有关,与所在的直角三角形无关.易错警示:(1)“sinA”“cosA”与“tanA”是整体符号,符号中省去了“∠”.对于用三个大写字母表示的角来说,如∠AOB,其正弦应写成“sin∠AOB”,而不能写成“sinAOB”,余弦、正切也是这样的.(2)(sinA)2应写成sin2A,而不能写成sinA2.例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,求sinA,cosA的值.导引:在Rt△ABC中,已知两直角边长,可先用勾股定理求斜边长,再利用定义分别求出sinA,cosA的值.解:∵∠C=90°,AC=12,BC=5,∴AB=∴sinA=cosA=222212513.ACBC5,13BCAB12.13ACAB总结在直角三角形中,求锐角的正弦和余弦时,一定要根据正弦和余弦的定义求解.其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解.例3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=BC=40,求△ABC的周长和面积.已知BC=40,求△ABC的周长,则还需要求出其他两边的长,借助sinA的值可求出AB的长,再利用勾股定理求出AC的长即可,直角三角形的面积等于两直角边长乘积的一半.导引:45,解:∵sinA=∴AB=∵BC=40,sinA=,∴AB=50.又∵AC=∴△ABC的周长为AB+AC+BC=120,△ABC的面积为BC·AC=×40×30=600.2222504030,ABBC,BCAB45.sinBCA1212总结正弦的定义表达式sinA=可根据解题需要变形为BC=ABsinA或AB=余弦的定义表达式cosA=也可变形为AC=ABcosA或AB=.BCABACABcosACAsinBCA4,51在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinA,cosB,tanB.2在△ABC中,∠C=90°,sinA=BC=20,求△ABC的周长和面积.3(2015·温州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,那么cosA的值等于()A.B.C.D.434534354(2015·丽水)如图,点A为α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是()A.B.C.D.BCABCDACBDBCADAC5(2016·广东)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是()A.B.C.D.434534353知识点锐角三角函数的取值范围1.锐角三角函数的定义:定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有sinA=,cosA=tanA=我们把sinA,cosA,tanA叫做∠A的三角函数,即锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的三角函数.ac,bc,ab要点精析:在锐角三角函数的概念中,∠A是自变量,其取值范围是0°<∠A<90°.三个比值是因变量,当∠A确定时,三个比值(正弦、余弦、正切)分别唯一确定,因此,锐角三角函数是以角为自变量,以比值为因变量的函数.2.锐角三角函数的取值范围:在Rt△ABC中,因为各边边长都是正数,且斜边边长大于直角边边长,所以对于锐角A,有tanA>0,0<sinA<1,0<cosA<1.3.易错警示:求三角函数值的前提条件是在直角三角形中,遇到锐角三角形或钝角三角形时一般需要作高构造直角三角形.例4如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求∠A,∠B的三角函数值.由已知AC与BC的长可确定∠A与∠B的正切,但要确定∠A与∠B的正弦与余弦,根据定义必须确定斜边AB的长,这就需要先用勾股定理计算AB的长.导引:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5.∴sinA=cosA=tanA=sinB=cosB=tanB=解:3,5BCAB4,5ACAB3,4BCAC4,5ACAB3,5BCAB4.3ACBC总结求一个直角三角形中锐角的三角函数值时,①若已知两边长,先根据勾股定理求第三边长,然后根据概念直接求;②若已知两边的比,则设辅助未知数表示出两边长,然后再用方法①求.1若α是锐角,sinα=3m-2,则m的取值范围是()A.<m<1B.2<m<3C.0<m<1D.m>2如果0°<∠A<90°,并且cosA是方程(x-0.35)=0的一个根,那么cosA=_______.232312x1.正弦的定义2.余弦的定义3.求锐角三角函数值的三种方法:(1)在直角三角形里,确定各个边,根据定义直接求出.(2)利用相似、全等等关系,寻找与所求角相等的角(若该角的三角函数值知道或者易求).(3)利用互余的两个角间的特殊关系求.