九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 专题六 锐角三角函数与解直角三角形课件

专题六锐角三角函数与解直角三角形教材母题(教材P85第11题)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝55cm，且tan∠EFC＝34.(1)△AFB与△FEC有什么关系？(2)求矩形ABCD的周长．(2)∵在Rt△EFC中，tan∠EFC＝ECFC＝34，可设EC＝3x，FC＝4x，由勾股定理知EF＝5x，DE＝EF＝5x，∴DC＝8x，∴AB＝8x，在Rt△ABF中，tan∠BAF＝tan∠EFC＝BFAB＝34，∴BF＝6x，BC＝10x，AD＝10x，AE＝（10x）2＋（5x）2＝(55)2，解得x＝1，∴AB＝8，AD＝10，矩形ABCD的周长为2×(10＋8)＝36.【规律与方法】熟练掌握直角三角形中的直角关系，没有直角三角形时通过作辅助线构造直角三角形，综合利用勾股定理、方程的思想、相似等知识是解决此类综合应用的关键．解：(1)折叠知△ADE≌△AFE，∴∠AFE＝90°，∴∠BFA＋∠EFC＝90°，又∵∠EFC＋∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△AFB∽△FEC变式1.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝513，则tanB的值为()A.1213B.512C.1312D.125变式2.(2014·义乌)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是()A．1B．1.5C．2D．3,第2题图),第3题图)变式3.(2013·深圳)如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是()A.13B.617C.55D.1010DCD变式4.(2014·玉林)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF，且EF∥MN，则cos∠E＝__．,第4题图),第5题图)变式5.(2014·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠12BAC，则tan∠BPC＝__．变式6.(2013·荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝35，则DE＝__.1243154变式7.(2013·锦州)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE.已知AE＝5，tan∠AED＝34，则BE＋CE＝_6或16_．点拨：①如图1，tan∠AED＝ADDE＝34，设AD＝3x，DE＝4x，由勾股定理知AE＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝3，AB＝AC＝6，EC＝6－5＝1，∴BE＋CE＝6②如图2，同理可得DE＝4，AD＝3，AB＝AC＝6，AE＝BE＝5，∴BE＋CE＝6＋5＋5＝16.变式8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝33，解这个直角三角形．解：因为∠C＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.因为tanA＝BCAC，所以BCAC＝33，所以BC＝33AC＝33×33＝3.由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝（33）2＋32＝6.所以∠A＝30°，BC＝3，AB＝6.变式9.如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．,解：如图，过点C作AB边上的高CE，则∠CAE＝180°－∠CAB＝60°，在Rt△CEA中，∠CEA＝90°，∵sin∠CAE＝CEAC，cos∠CAE＝AEAC，∴CE＝AC·sin60°＝3，AE＝AC·cos60°＝1，∴BE＝AB＋AE＝5，在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∴BC2＝CE2＋BE2＝3＋25＝28，∴BC＝27，∵在△ABC中，AD·BC＝AB·CE，∴AD·27＝4×3，AD＝2217变式10.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解：∠ABC＝∠BCF＝∠A＝45°，∠EDF＝60°，BC＝AC＝122，作BH⊥FC于点H，则BH＝CH＝22BC＝12，Rt△BDH中，DH＝BH÷tan∠EDF＝12÷3＝43，∴CD＝CH－DH＝12－43变式11.(2014·绥化)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠BPD＝35，求⊙O的直径．,)(2)解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴BC︵＝BD︵，∴∠A＝∠BPD，∴sinA＝sinP.在Rt△ABC中，sinA＝BCAB，∵sinP＝35，∴BCAB＝35，又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直径为5解：(1)证明：∵BD︵＝BD︵，∴∠BCD＝∠BPD，又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠BPD，∴CB∥PD.变式12.黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.45)(2)求∠ACD的余弦值．解：(1)∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝152千米，又∵∠D＝90°，∴AD＝AC2－CD2＝（152）2－（32）2＝123(千米)．∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝30＋32＋123＝30＋4.242＋20.784≈55(千米)．面积＝S△ABC＋S△ADC＝12×15×15＋12×123×32＝2252＋186≈157(平方千米)(2)cos∠ACD＝CDAC＝32152＝15.