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24.6正多边形和圆24.6.1正多边形与圆第二十四章1.了解正多边形和圆的有关概念；2.会应用多边形和圆的有关知识画正多边形．你还能举出更多正多边形的例子吗？正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.三条边相等，三个角也相等（60度）.四条边都相等，四个角也相等（90度）.各边相等各角也相等菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ABCDE求证：正五边形的对角线相等想一想怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？EFGHABCD0ABCD【例1】把圆分成5等份，求证：⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.例题123ABCDE45证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA∴AB=BC=CD=DE=EA∵BCE=CDA=3AB∴∠1=∠2同理∠2=∠3=∠4=∠5又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒证明：（2）连接OA、OB、OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.ABCDEPQRSTO又∵AB=BC∴AB=BC∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA同理∠Q=∠R=∠S=∠TQR=RS=ST=TP=2PA⌒⌒∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.定理用量角器等分圆周2.在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点.从而，作出正n边形.1.在一个圆中，先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的.360n1n你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？·ABCDO90°DOABCEF·60°你还有什么方法画正四边形、正六边形？你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？·ABCDO用尺规等分圆周只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等份圆周.你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连接各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形（）（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形（）（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形（）（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形（）1.判断：2.证明题.求证：顺次连接正六边形各边中点所得的多边形是正六边形.ABCDEFABCDE3.求证：正五边形的对角线相等.证明：在△BCD和△CDE中∵BC=CD∠BCD=∠CDECD=DE∴△BCD≌△CDE∴BD=CE同理可证对角线相等.已知：五边形ABCDE是正五边形.求证：DB=CE.1．把一个圆分成n（n≥3）等份（1）依次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形.（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.通过本课时的学习，需要我们掌握：2.等分圆的方法画正n边形.