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第二十四章圆24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.1圆24.1.2垂直于弦的直径考场对接题型一圆的有关概念的识别考场对接例题1下列说法正确的是().A．半圆是弧,弧也是半圆B．过圆上任意一点只能作一条弦,且这条弦是圆的直径C．弦是直径D．直径是圆中最长的弦D分析选项判断理由A×半圆是弧,但弧不一定是半圆B×过圆上任意一点能作无数条弦C×直径是弦,但弦不一定是直径D√直径是圆中最长的弦锦囊妙计圆中容易混淆的“两组基本概念”1．弦与直径：(1)弦是连接圆上任意两点的线段,直径是经过圆心的弦.(2)直径是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.2．弧与半圆：(1)圆上任意两点分圆成两段弧,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫作半圆.(2)半圆是弧,但弧不一定是半圆.题型二利用圆的性质进行证明例题2如图24-1-10,A,B,C是⊙O上的三个点,BO平分∠ABC.求证：AB=BC.分析证明如图24-1-11,连接OA,OC.∵OA=OB,OB=OC,∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO,∴∠BAO=∠BCO.在△OAB与△OCB中,∴△OAB≌△OCB,∴AB=BC.锦囊妙计半径相等的运用在同圆或等圆中,可以通过连接圆心和圆上一点构造等腰三角形或全等三角形来解决问题.在做有关圆的习题时,一定不要忘记半径相等这个隐含条件.题型三垂径定理及其推论的有关计算与证明例题3如图24-1-12,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为________.分析如图24-1-12,连接OD.∵AM=18,BM=8,∴OB=OD∴OM=13-8=5.在Rt△ODM中,DM=∵直径AB⊥弦CD,∴CD=2DM=2×12=24.24锦囊妙计应用垂径定理的注意事项1．垂径定理基本图形中的四变量、两关系：(1)四变量：如图24-1-13,设弦长为a,圆心到弦的距离为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,知道这四个变量中任意两个可求出其他两个.(2)两关系：锦囊妙计2．垂径定理应用中常作的辅助线：(1)若已知圆心和弦,则连接圆心和弦的一个端点,即“连半径”,并作垂直于弦的直径,构造直角三角形；(2)若已知圆心和弦(弧)的中点,则连接圆心和弦(弧)的中点,并延长使其与圆相交,得圆的直径,再“连半径”,构造直角三角形.3．垂径定理应用中常用的技巧：设未知数,根据勾股定理列方程.题型四利用垂径定理求最值例题4如图24-1-14,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为_______.7𝟐分析如图24-1-15,连接BP,BC.由于A,B两点关于直线MN对称,故PA+PC=PB+PC,所以当B,C,P三点在一条直线上时,PA+PC的值最小,即BC的长就是PA+PC的最小值.连接OA,OB,OC,过点C作CH⊥AB于点H.∵AB=8,CD=6,MN是⊙O的直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,∴CH=EF=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,∴在Rt△BCH中,由勾股定理得BC=即PA+PC的最小值为.7𝟐锦囊妙计求线段长的最值常用模型如图24-1-16,点A,B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使点C到点A,B的距离之和最小,只需作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′,AB′与直线l的交点就是所求点C.题型五利用垂径定理解决实际问题例题5把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图24-1-17所示.已知EF=CD=16厘米,则球的半径为_______厘米.108锦囊妙计利用垂径定理解决弓形问题利用垂径定理解答弓形问题时,常通过作辅助线构造直角三角形,然后利用勾股定理求得相关线段的长,从而解决问题.题型六应用垂径定理作图例题5如图24-1-19,已知,用直尺和圆规作这条弧的中点．图24-1-19分析构造弦AB作垂直平分弦AB的直线解作法：1.连接AB；2.作线段AB的垂直平分线CD,交于点E.E就是的中点.如图24-1-19.图24-1-19锦囊妙计圆弧中点的确定由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,所以常通过作弧所对的弦的垂直平分线确定弧的中点.谢谢观看！