第二十二章二次函数章末复习第二十二章二次函数章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接知识框架二次函数抛物线y=ax²(a≠0)的平移二次函数的定义二次函数与一元二次方程二次函数的图像和性质二次函数的解析式二次函数与实际问题二次函数的定义形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)开口方向烦烦烦鬼鬼鬼鬼鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼鬼鬼鬼g鬼鬼二次函数的图像和性质a0,图像开口向上a0,图像开口向下对称轴a,b同号,对称轴在y轴左侧a,b异号,对称轴在y轴右侧增减性最值二次函数的图像和性质a0a0y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(交点式)二次函数的解析式y=a(x-h)²+k(a≠0)(顶点式)上下平移|k|个单位长度:y=ax²+k(a≠0)上下平移|k|个单位长度,左右平移|h|个单位长度:y=a(x-h)²+k(a≠0)抛物线y=ax²(a≠0)的平移左右平移|h|个单位长度:y=a(x-h)²(a≠0)二者关系二次函数与一元二次方程利用图像解方程抛物线与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的根函数值越接近零的点所对应的横坐标的值越近似于一元二次方程的根抛物线与x轴的交点情况相应一元二次方程根的情况二次函数与实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图像和性质解决实际问题中的最值等问题【要点指导】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与a,b,c的关系:(1)a的值与图像的开口方向有关,图像开口向上时,a0;图像开口向下时,a0.(2)当对称轴在y轴左侧时,a,b同号;当对称轴在y轴右侧时,a,b异号.(3)图像与y轴的交点在y轴正半轴上时,c0;图像与y轴的交点是原点时,c=0;图像与y轴的交点在y轴负半轴上时,c0.归纳整合专题一二次函数的图像与系数的关系(4)当图像与x轴有两个交点时,b2-4ac0;当图像与x轴只有一个交点时,b2-4ac=0;当图像与x轴没有交点时,b2-4ac0.(5)图像过点(1,a+b+c)和点(-1,a-b+c),再根据图像上的点的位置可确定式子a+b+c和a-b+c的符号.例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示,那么下列判断不正确的是().A.ac0B.a-b+c0C.b=-4aD.b2-4ac0B分析选项判断正误理由正确结论A正确图像开口向下,a0ac0图像与y轴的交点在y轴正半轴上,c0B错误图像过点(-1,0)a-b+c=0C正确图像的对称轴是直线x=2,则-=2b=-4aD正确图像与x轴有两个交点b2-4ac0相关题1解已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-2所示,则下列结论正确的是().A.a0,b0,c0,b2-4ac0B.a0,b0,c0,b2-4ac0C.a0,b0,c0,b2-4ac0D.a0,b0,c0,b2-4ac0D解析因为图像开口向下,所以a<0.因为图像的对称轴在y轴的右侧,所以a,b异号,所以b>0.因为图像与y轴的交点在y轴的正半轴上,所以c>0.因为图像与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0.故选D.【要点指导】利用待定系数法求二次函数的解析式时,可以根据所给出的条件设出不同的解析式:①一般式y=ax2+bx+c(a≠0),当已知条件是三个普通点时,可选择一般式;②顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),当已知条件是顶点和一个普通点时,可选择顶点式;③交点式y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,当已知条件是抛物线与x轴的两个交点及一个普通点时,可选择交点式.专题二用待定系数法求二次函数的解析式例2已知二次函数的图像以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的解析式;(2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.解(1)设该函数的解析式为y=a(x+1)2+4,将点B(2,-5)代入函数解析式中,得a=-1.∴该函数的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.(2)当x=0时,y=3,因此抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).当y=0时,-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,即抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0).相关题2已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)方法一:设该抛物线所对应的函数解析式为y=ax2+bx+c.把A(-2,0),B(1,0),C(2,8)代入函数解析式中,得4a-2b+c=0,a+b+c=0,4a+2b+c=8,解得a=2,b=2,c=-4,∴该抛物线所对应的函数解析式为y=2x2+2x-4.方法二:∵抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),∴可设该抛物线所对应的函数解析式为y=a(x+2)(x-1).把C(2,8)代入函数解析式中,得a=2,∴该抛物线所对应的函数解析式为y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.(2)∵y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2x+122-92,∴该抛物线的顶点坐标为-12,-92.【要点指导】二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种:没有公共点、有一个公共点、有两个公共点,这分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根.专题三二次函数与一元二次方程的关系例3若二次函数y=2(k-1)x2-4kx+2(k-1)的图像与x轴有两个不同的交点,求k的取值范围.相关题3若二次函数y=kx2-7x-7的图像和x轴有交点,则k的取值范围是().B解析根据题意,得k≠0,①(-7)2-4×k×(-7)≥0,②解②得k≥-74,∴当k≥-74且k≠0时,二次函数y=kx2-7x-7的图像和x轴有交点.专题四二次函数图像的平移和轴对称变换【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程,实际就是确定变换后所得图像的二次函数解析式,研究变换后的图像和性质的过程,关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的顶点),从而得出函数解析式,最后利用二次函数的性质解答.例4如图22-Z-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位长度,再沿x轴向右平移2个单位长度,平移后所得抛物线的顶点记作A,直线x=3与平移后的抛物线相交于点B,与直线OA相交于点C.(1)求平移后的抛物线的函数解析式;(2)求点C的坐标及△ABC的面积.解(1)将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位长度,再沿x轴向右平移2个单位长度后,所得抛物线的函数解析式为y=2(x-2)2+1.(2)∵平移后抛物线的函数解析式为y=2(x-2)2+1.∴点A的坐标为(2,1).设直线OA的函数解析式为y=kx,将A(2,1)代入,得k=,∴直线OA的函数解析式为y=x.将x=3代入y=x,得y=,∴点C的坐标为(3,).将x=3代入y=2(x-2)2+1,得y=3,∴点B的坐标为(3,3),∴BC=,∴S△ABC=.相关题4如图22-Z-4,抛物线的顶点为P(-3,3),与y轴交于点A(0,4),若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'(3,-3),点A的对应点为A',则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为().A.6B.12C.24D.4C解析如图,连接AP,A′P′,过点A作AD⊥PP′于点D,由题意可得出:AP∥A′P′,AP=A′P′,∴四边形APP′A′是平行四边形.∵抛物线的顶点为P(-3,3),与y轴交于点A(0,4),平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(3,-3),∴P′O=PO=32,∠AOP=45°.又∵AD⊥OP,∴△ADO是等腰直角三角形,∴AD=DO=22×4=22.由平移性质可得,抛物线上PA段扫过的区域的面积等于▱APP′A′的面积,∵PP′=P′O+PO=32×2=62,∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为62×22=24.专题五二次函数与三角形或四边形的综合题【要点指导】解答二次函数与三角形或四边形的综合题,必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的条件,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等数学思想才能解决.例5如图22-Z-5所示,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-3,0).(1)求点B的坐标;(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点,若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标.解(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,∴A,B两点关于直线x=-1对称.∵点A的坐标为(-3,0),∴点B的坐标为(1,0).(2)当a=1时,y=x2+bx+c.把A(-3,0),B(1,0)代入y=x2+bx+c,可得∴该抛物线所对应的函数解析式为y=x2+2x-3.∵当x=0时,y=-3,∴点C的坐标为(0,-3).∵S△BOC=OB·OC=×1×3=,∴S△POC=4S△BOC=4×=6.又∵S△POC=OC·|xP|=6,∴|xP|=4,∴xP=±4.当xP=4时,yP=42+2×4-3=21;当xP=-4时,yP=(-4)2+2×(-4)-3=5,∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5).相关题5[益阳中考]如图22-Z-6,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A,B,且与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求点Q的坐标;(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.解:(1)∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(1,0),B(0,3).又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),∴a+k=0,4a+k=3,解得a=1,k=-1.故a,k的值分别为1,-1.(2)由(1)知抛物线所对应的函数解析式为y=(x-2)2-1,∴抛物线的对称轴为直线x=2.设点Q的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直直线x=2于点E,如图.在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2.在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2.∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,∴点Q的坐标为(2,2).(3)∵点N在对称轴上,NC与AC不垂直,∴AC应为正方形的对角线.又∵对称轴x=2是线段AC的垂直平分线,∴点M与顶点P(2,-1)重合,点N为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,∴四边形AMCN为正方形.在Rt△AFN中,AN=AF2+NF2=2,即正方形的边长为2.专题六二次函数的实际应用【要点指导】运用建模思想,将实际问题中的信息语言转化成数学语言,抽象、归纳出其中的数量关系,从而运用二次函数的有关知识加以解决.例5如图22-Z-7①,连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥(晴川桥)是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥,它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道亮丽景观.桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的距离均为5米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度AB为280米,距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立如图22-Z-7②所示的平面直角坐标系.(1)求抛物线所对应的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)