搜索
第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程考场对接题型一判断二次函数的图像与x轴的交点情况考场对接例题1下列对二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图像与x轴的交点的判断,正确的是().A．没有交点B．只有一个交点,且它位于y轴右侧C．有两个交点,且它们均位于y轴左侧D．有两个交点,且它们均位于y轴右侧D锦囊妙计判断二次函数的图像与x轴的交点情况判断二次函数的图像与x轴的交点个数的关键是计算b2-4ac的值,然后与0进行比较.如果二次函数的图像与x轴有两个交点,要判断这两个交点在y轴的同侧还是异侧,应计算这两个交点的横坐标的和与积,并判断和与积的符号,可以通过相应一元二次方程根与系数的关系进行判断.题型二根据交点的个数求系数中未知字母的值例题2已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证：不论m为何值,该函数的图像都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图像与x轴只有一个交点,求m的值.分析解(1)证明：当x=0时,y=1,所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图像都经过y轴上的一个定点(0,1).(2)当m=0时,函数为一次函数y=-6x+1,其图像与x轴只有一个交点；当m≠0时,函数y=mx2-6x+1是二次函数,若二次函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点,则一元二次方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以Δ=(-6)2-4m=0,解得m=9.综上所述,若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.锦囊妙计根据交点的个数求系数中未知字母的值利用抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的值或取值范围,进而确定系数中未知字母的值或取值范围.题型三根据二次函数的图像求一元二次不等式的解集例题3图22-2-6是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的一部分,其对称轴为直线x=1.若二次函数的图像与x轴的一个交点为A(3,0),则由图像可知,不等式ax2+bx+c0的解集是_________.-1x3结论依据或理由-1x3由图像与x轴的一个交点为(3,0),图像的对称轴是直线x=1,可知图像与x轴的另一个交点为(-1,0)由图像可知,当-1x3时,图像在x轴的下方,即ax2+bx+c0分析锦囊妙计利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个交点,分别是(x1,0),(x2,0),且x1x2,则有如下结论：若a0,则当xx1或xx2时,y0,当x1xx2时,y0；若a0,则当x1xx2时,y0,当xx1或xx2时,y0.(2)利用函数图像求一元二次不等式的解集时,要先观察图像,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点的横坐标及图像写出不等式的解集.题型四根据图像(或表格)确定一元二次方程的根例题4已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图22-2-7所示,你能确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根吗？解由图可知函数图像过点(3,0),且对称轴为直线x=1,∴函数图像与x轴的另一个交点为(-1,0),∴相应的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为x1=-1,x2=3.锦囊妙计二次函数与一元二次方程的关系(1)“数”的方面：当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.(2)“形”的方面：二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.题型五利用抛物线与x轴的交点解决问题D例题5已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.若D是AB的中点,则CD的长是().例题6在羽毛球比赛中,羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图22-2-8).若不考虑外力因素,羽毛球的行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足函数关系y=,则羽毛球飞出的水平距离为_________米．5分析令y=0,得解得x1=5,x2=-1(不合题意,舍去),所以羽毛球飞出的水平距离为5米.锦囊妙计求抛物线与x轴的交点坐标的方法求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标时,只需令函数值y为0,得到一元二次方程ax2+bx+c=0,然后解方程即可.题型六二次函数与一次函数的综合例题7如图22-2-9,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2)．(1)求m的值和抛物线的函数解析式；(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集(直接写出答案)；(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线y=x2+bx+c上,试比较y1与y2的大小．解(1)把A(1,0)代入y=x+m,得0=1+m,解得m=-1.把A(1,0),B(3,2)分别代入y=x2+bx+c,得0=1+b+c,2=9+3b+c,解得b=-3,c=2,∴抛物线的函数解析式为y=x2-3x+2.(2)由函数图像可知,不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3.(3)将M(a,y1),N(a+1,y2)分别代入y=x2-3x+2,得y1=a2-3a+2,y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a,则y1-y2=a2-3a+2-(a2-a)=2-2a．①当2-2a＞0,即a＜1时,y1＞y2.②当2-2a=0,即a=1时,y1=y2；③当2-2a＜0,即a＞1时,y1＜y2.故当a＜1时,y1＞y2；当a=1时,y1=y2；当a＞1时,y1＜y2.锦囊妙计比较二次函数值的大小比较两个二次函数值的大小时,如果两点在对称轴的同侧,可以利用二次函数的增减性比较大小；若无法确定这两点是否在对称轴的同侧,可以把两点的横坐标代入二次函数的解析式,利用作差法比较函数值的大小.谢谢观看！