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第二十一章一元二次方程章末复习第二十一章一元二次方程章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接知识框架一元二次方程根与系数的关系解法直接开平方法：解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程配方法：配方时,方程两边同时加上一次项系数一半的平方公式法：求根公式为因式分解法：把方程变形为a·b=0的形式,则a=0或b=0定义整式方程只含有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)一元二次方程根与系数的关系解法定义一般形式根的情况方程有两个相等的实数根͢b2-4ac=0方程有两个不相等的实数根͢b2-4ac0方程没有实数根͢b2-4ac0列方程解决实际问题平均变化率问题分裂、传播问题面积、体积问题销售利润问题循环问题【要点指导】解一元二次方程的主要方法有四种：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.直接开平方法和因式分解法可解特殊的一元二次方程,公式法和配方法可解任意的一元二次方程.若没有特别说明,解法选择的一般顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.归纳整合专题一一元二次方程的解法例1解下列方程：(1)x2+x-1=0；(2)(x-3)2+2x(x-3)=0.分析方程特点选用方法x2+x-1=0方程为一般形式公式法(x-3)2+2x(x-3)=0方程左边含有公因式(x-3)因式分解法解(1)∵a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1+4=50,(2)∵(x-3)2+2x(x-3)=0,∴(x-3)(x-3+2x)=0,即(x-3)(3x-3)=0,∴x1=3,x2=1.相关题1解方程：6x2-x-1=0.解：移项，得6x2－x＝1.方程两边都除以6，得x2－16x＝16.配方，得x2－16x＋1144＝16＋1144，即x－1122＝25144，∴x－112＝±512，∴x1＝12，x2＝－13.解一元二次方程时,要根据方程的特点选择简便的方法.当方程不含一次项时,一般采用直接开平方法；当方程不含常数项时,一般采用因式分解法.【要点指导】关于一元二次方程根的判别式的问题的常见题型有三种：(1)不解方程,判断方程根的情况；(2)由方程根的情况确定方程的系数中未知字母的值或取值范围；(3)进行有关一元二次方程根的情况的证明.专题二根的判别式的应用例2已知关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围.解本题有两种情况：(1)若方程是一元二次方程,则m2-1≠0,b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0,m≠±1,解得m≥-,即m≥-且m≠±1.(2)若方程为一元一次方程,则m2-1=0,-2(m+2)≠0,解得m=±1.当m=1时,原方程为-6x+1=0,有实数根x=；当m=-1时,原方程为-2x+1=0,有实数根x=.综上所述,当m≥-时,原方程有实数根.相关题2-1已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)请选择一个k的负整数值,求出方程的根.解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4×1×(－k)＞0，即4k＞－9，解得k－94.(2)(答案不唯一)若k是负整数，则k只能为－1或－2.当k＝－1时，原方程为x2－3x＋1＝0，解得x1＝3＋52，x2＝3－52；当k＝－2时，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.相关题2-2已知关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根,求m的取值范围.解：本题分两种情况：(1)当m2＝0，即m＝0时，方程为一元一次方程x＋1＝0，此时方程有实数根x＝－1.(2)当m2≠0，即m≠0时，方程为一元二次方程．由方程有实数根的条件得Δ＝(2m＋1)2－4m2≥0，解得m≥－14，所以m的取值范围为m≥－14且m≠0.综上可得，m的取值范围为m≥－14.当方程有两个实数根时,方程为一元二次方程,此时方程的二次项系数不能为0.【要点指导】利用一元二次方程根与系数的关系解决相关的计算问题时,首先必须计算判别式Δ的值,在保证Δ≥0的前提下,用方程的系数表示两个根的和与积,然后将所求的代数式转化为与x1+x2和x1x2相关的形式,最后代入求值.专题三一元二次方程根与系数的关系例3[十堰中考]已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值解(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤,∴实数k的取值范围为k≤.(2)∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).∴实数k的值为-2．相关题3已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0.(1)求证：无论m为何值,方程都有两个实数根.(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．解：(1)证明：∵Δ＝(m－3)2－4×[－m(2m－3)]＝9(m－1)2≥0，∴无论m为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－(m－3)，x1x2＝－m(2m－3)．由x12＋x22＝26，得(x1＋x2)2－2x1x2＝(m－3)2＋2m(2m－3)＝26，整理，得5m2－12m－17＝0，解方程，得m＝175或m＝－1，∴存在正数m，使得方程的两个实数根的平方和等于26，m＝175.专题四实际问题与一元二次方程【要点指导】在现实生活中,许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解,其中找出等量关系是建立一元二次方程模型的关键．例4某校团委准备举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图21-Z-1),求彩纸的宽度.分析设彩纸的宽度为xcm.长(cm)宽(cm)面积(cm2)原矩形画面302030×20镶彩纸后矩形30+2x20+2x(30+2x)(20+2x)解设彩纸的宽度为xcm.由题意,得(30+2x)(20+2x)=2×30×20,整理,得x2+25x-150=0,解得x1=5,x2=-30(不合题意,舍去).答：彩纸的宽度为5cm．相关题4汽车产业是某市的支柱产业之一,其产量和效益逐年增加.据统计,2016年该市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆,到2018年,该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的平均增长率从2016年开始五年内保持不变,则该品牌汽车2019年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的平均增长率为x.由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25(不合题意，舍去)．∴x＝0.25＝25%，10×(1＋25%)＝12.5(万辆)．答：该品牌汽车2019年的年产量为12.5万辆．例5某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查发现：每件商品每降价1元,每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,在顾客得到实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,则应将销售价格定为每件多少元？分析设每件商品降价x元,商家还能获得6080元的利润.降价后每件的售价(元)降价后的销售量(件)降价后的总利润(元)(60-x)(300+20x)6080解：设每件商品降价x元,则售价为每件(60-x)元,每件的利润为(60x-40)元,销售量为(300+20x)件.根据题意,得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4.为了使顾客得到实惠,应取x=4,即销售价格定为每件56元.答：应将销售价格定为每件56元.相关题5[朝阳中考]为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子.根据市场预测,该品牌粽子每个售价为4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其每天的销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子的售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.解：设每个粽子的定价为x元时，超市每天的销售利润为800元．根据题意，得(x－3)500－10×x－40.1＝800，解得x1＝7，x2＝5.∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5.答：每个粽子的定价为5元时，超市每天的销售利润为800元．【要点指导】运用方程思想解决几何问题,首先要用含未知数的式子表示出相关线段的长度,然后利用图形中存在的等量关系构建方程.素养提升专题利用方程思想解决几何问题例如图21-Z-2所示,甲、乙两人开车分别从正方形场地ABCD的顶点C,B同时出发,甲由C处向D处行驶,乙由B处向C处行驶,甲的速度为1km/min,乙的速度为2km/min.若正方形场地的周长为40km,则几分钟后,两人相距2km？分析设xmin后,两人相距2km.根据“路程=速度×时间”用含x的代数式表示线段的长度,将问题转化到直角三角形中,利用勾股定理构建方程来解答．解设xmin后两人相距2km,此时甲运动到F处,乙运动到E处,可知FC=xkm,EC=(10-2x)km.在Rt△ECF中,x2+(10-2x)2=(2)2．解得x1=2,x2=6．当x=2时,FC=2km,EC=10-4=6(km)＜10km,符合题意；当x=6时,FC=6km,EC=10-12=-2(km)＜0km,不符合题意,舍去．答：2min后,两人相距2km．相关题如图21-Z-3,已知矩形ABCD的边AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时,动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动.经过多长时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？解析设出未知数后，用含未知数的代数式表示出AM，AN的长，利用△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19列出方程求解即可．解：设经过ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19.根据题意，可得AM＝tcm，AN＝(6－2t)cm.所以12AM·AN＝19BC·AB，即12t·(6－2t)＝19×6×3.整理，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝2，t2＝1.答：经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19.中考链接母题1一元二次方程的根(教材P4习题21.1第7题)如果2是方程x2-c=0的一个根,那么常数c是多少？求出这个方程的其他根.考点：一元二次方程的根的概念.考情：已知一元二次方程的根,求方程的系数中未知字母的值.策略：把根代入原方程,通过解方程求得原方程的系数中未知字母的值.链接1[盐城中考]已知一元二次方程x2+kx3=0有一个根为1,则k的值为().A．-2B．2C．-4D．4分析把x=1代入原方程得1+k-3=0,解得k=2.故选B.B链接2[乌鲁木齐中考]若关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+|a|-2=0的一个根是0,则实数a的值为().A．-2B．0C．2D．-2或2A母题2一元二次方程的解法(教材P21习题21.3第1题)解下列方程：(1)x2+10x+21=0；(2)x2-x-1=0；(3)3x2+6x-4=0；(4)3x(x+1)=3x+3；(5)4x2-4x+1=x2+6x+9；(6)7x2-x-5=0.𝟔考点：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.考情：解一元二次方程是中考的重