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第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.1配方法21.2.2公式法考场对接题型一解一元二次方程考场对接例题1[鞍山中考]解方程：(1)(x+3)2-25=0；(2)x2-10x+24=0；(3)3x2-5x+5=7.分析(1)把-25移到等号的右边,运用直接开平方法解方程；(2)把24移到等号的右边,运用配方法解方程；(3)先把方程化为一元二次方程的一般形式,再用公式法求解.解(1)移项,得(x+3)2=25,直接开平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,即x1=-8,x2=2.(2)移项,得x2-10x=-24,配方,得x2-10x+25=-24+25,即(x-5)2=1,由此可得x-5=±1,∴x1=6,x2=4.(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.∵a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=490,∴𝒙𝒙=−(−𝟓)±𝟒𝟗𝟐×𝟑=𝟓±𝟕𝟔,∴x1=2,x2=-𝟏𝟑.锦囊妙计一元二次方程解法的选取原则在解一元二次方程时,应根据方程的特点,选取适当的方法求解.若方程可化为(x+n)2=p(p≥0)的形式,则宜选用直接开平方法求解；若方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则宜选用配方法求解；若选用以上两种方法都不易求解时,则选用公式法求解.题型二利用根的判别式判断方程根的情况例题2已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0,不解方程,判断方程根的情况.分析确定a,b,c的值,求出Δ的值,与0比较加以判断.解∵a=1,b=2m,c=m2﹣1,∴Δ=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4＞0,∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.锦囊妙计判断一元二次方程根的情况的方法(1)关于一元二次方程根的情况的问题一般都与Δ有关,抓住Δ与0的大小关系推出一元二次方程根的情况是解这类题的关键.(2)也可以通过以下技巧进行判断：①若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边是(或可以写成)完全平方式,则该方程有两个相等的实数根；②若方程中a,c异号或b≠0且c=0,则该方程有两个不相等的实数根.题型三利用方程根的情况确定系数中字母的值或取值范围例题3若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是().A．k＞-1B．k＞-1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0B例题4已知关于x的一元二次方程x2+2x(m-3)=0有实数根,则m的取值范围是().A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤2C分析一元二次方程有实数根包括有两个不等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.根据题意,得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0,解得m≥2.故选C.锦囊妙计利用根的判别式确定系数中字母的值或取值范围(1)若一元二次方程有两个不等的实数根,则Δ＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根,则Δ=0；若一元二次方程没有实数根,则Δ＜0.根据以上三种关系建立方程或不等式,求解后得到系数中字母的值或取值范围.(2)注意求出的系数中字母的值或取值范围一定要使一元二次方程的二次项系数不为0.题型四一元二次方程的整数解例题5已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.分析(1)要证明方程总有两个实数根,只需证明Δ≥0；(2)可先求出方程的解,再加以讨论解决问题.解(1)证明：∵a=m,b=-(m＋2),c=2,∴Δ=b2-4ac=[-(m＋2)]2-8m=m2＋4m＋4-8m=m2-4m＋4=(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)∵𝒙=−𝒃±𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂=𝐦+𝟐±(𝒎−𝟐)𝟐𝟐𝐦=𝐦+𝟐±(𝐦−𝟐)𝟐𝐦,∴x1=𝐦+𝟐+𝐦−𝟐𝟐𝐦=1,x2=𝐦+𝟐−𝐦+𝟐𝟐𝐦=𝟐𝐦.∵方程的两个实数根都是整数,∴𝟐𝐦是整数,∴m=±1或m=±2.又∵m是正整数,∴m=1或m=2.锦囊妙计一元二次方程的整数解有关一元二次方程整数解的问题常常结合方程的根和整除的特点讨论解决.题型五配方法的应用例题6试说明多项式-10x2+7x-4的值恒小于0.解-10x2+7x-4=(-10x2+7x)-4即-10x2+7x-40.故多项式-10x2+7x-4的值恒小于0.锦囊妙计确定代数式的最值将代数式配方成m(x+n)2+p(m≠0)的形式,若m＞0,则当x=-n时,代数式取最小值p；若m＜0,则当x=-n时,代数式取最大值p.题型六用换元法解方程例题7阅读下面的材料,解答问题.为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,设x2-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±𝟐；当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±𝟓.故原方程的根为x1=𝟐,x2=-𝟐,x3=𝟓,x4=-𝟓.上述解题方法叫作换元法,请利用换元法解方程：(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.解设x2-x=y,则原方程可化为y2-4y-12=0,解得y1=6,y2=-2.当y=6时,x2-x=6,即x2-x-6=0,∴x=3或x=-2；当y=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,Δ=(-1)2-4×1×2＜0,∴该方程无实数解.故原方程的解为x1=3,x2=-2.锦囊妙计换元法的概念将代数式中的某个式子看作一个整体,用一个字母去替换它,从而使问题简化的求解方法叫作换元法.谢谢观看！