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21.4二次函数的应用第1课时第二十一章基础自主学习►学习目标阅读本课时例题，会利用函数最值解决问题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米2．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52(t－4)2＋40，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为()A．2sB．4sC．6sD．8sCB3．某种采用快速制动的飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝40t－t2，飞机着陆后滑行的最远距离是()A．400mB．300mC．1200mD．800m4．周长为16cm的矩形的最大面积为____．A16cm2[解析]设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为(8－x)cm，其面积S＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2.5．某商店购进一批单价为8元的日用品，如果以单价10元出售，那么每天可以售出100件．根据销售经验，这种日用品的销售单价为x元，其销售量为(200－10x)件．将销售价定为____元时，才能使每天所获销售利润最大．14[解析]设销售单价定为x元，每天所获利润为y元，则y＝(200－10x)(x－8)＝－10x2＋280x－1600＝－10(x－14)2＋360.所以将销售单价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．重难互动探究探究问题一面积最值问题例1某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的宽应是多少米？[分析]首先根据题意建立数学模型，即写出题目中水面的面积与其一边长所反映的函数关系式，然后配方，写出顶点坐标，从而确定矩形水面的边长和面积．解:设矩形的宽为xm,面积为Sm2,得S=x(20-x)=-x2+20x=-(x2-20x+100-100)=-(x-10)2+100∵a=-10∴当x=10时，S最大=100.答：当矩形的宽为10m时，矩形面积最大为100m2.[归纳总结]求极值（或最值），是许多实际问题中需研究和解决的课题，二次函数是一种解决此类问题的模型．探究问题二已知二次函数的表达式应用最值解决实际问题例2[教材变式题]我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产销售每年的投入资金x万元与所获利润P万元之间的函数表达式为P＝－1100(x－60)2＋41.当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的每年的投资金额x万元与所获利润Q万元之间的函数表达式为Q＝－99100(100－x)2＋2945(100－x)＋160.(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？[分析](1)由表达式P＝－1100(x－60)2＋41可知当x＝60时，可获得利润最大值，继而求得5年所获利润的最大值．(2)前2年的利润加上后三年的利润再减去前2年每年拨出的修路费50万元即可．(3)不开发5年所获利润的最大值是205万元；若按规划实施，5年所获利润(扣除修路后)的最大值是3175万元．比较可知，该方案具有极大的实施价值．解：(1)当x＝60时，P取得最大值为41，故不进行开发，五年获利的最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝－1100（x－60）2＋41＋－99100x2＋2945x＋160＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1065，表明x＝30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3195(万元)，故五年获利最大值为80＋3195－50×2＝3175(万元)．(3)有很大的实施价值．规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．[归纳总结]本题已给定函数之间的关系式，一是要分清哪种情况用哪个关系式，二是要注意自变量的取值范围，在自变量的范围内求函数的最大值．例3某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若以每箱50元销售，平均每天可销售90箱．价格每升高1元，平均每天少销售3箱．(1)写出平均每天的销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数表达式；(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数表达式；(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，问当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？[分析]本题中的价格可能降价也可能涨价，故分两种情况，每箱的利润＝售价－进价．解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50－x)元，因而可多售出3(50－x)箱，∴y＝90＋3(50－x)＝－3x＋240.当50＜x≤70时，则涨价(x－50)元，因而少售出3(x－50)箱，∴y＝90－3(x－50)＝－3x＋240.因此，当40≤x≤70时，y＝－3x＋240.(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x－40)元，平均每天的利润W＝(240－3x)(x－40)＝－3x2＋360x－9600.(3)W＝－3x2＋360x－9600＝－3(x2－120x＋3600－3600)－9600＝－3(x－60)2＋1200，∴顶点坐标为(60，1200)．当x＝60时，W最大＝1200，即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．[归纳总结]本题是二次函数在实际生活中的应用，首先正确理解题意，抓住“价格每升高1元，平均每天少售3箱．”列出销售量y与每箱售价x之间的函数关系，然后根据“利润＝销量×(售价－进价)”，列出利润W与x之间的函数表达式是解题的关键.课堂小结[反思]最大面积问题、最大利润问题以及给定函数表达式求最大高度、最远距离等问题都是利用二次函数的性质，求函数最值．