高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.2 集合的运算 第2课时 全集与补集公

集合第一章1.2集合之间的关系与运算第一章1.2.2集合的运算第2课时全集与补集某年级先后举行了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，你知道听讲座的人数共有多少吗？1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做________．2．设U是全集，A是U的一个子集，则由U中______________________组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作∁UA，用数学符号语言表达为________________________．3．∁UU＝______，∁U∅＝______，∁U(∁UA)＝______.4．A∪(∁UA)＝______，A∩(∁UA)＝______.全集所有不属于A的元素∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}∅UAU∅1．(2014·湖北文，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7}D．{2,5,7}[答案]C[解析]∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁UA＝{2,4,7}．2．(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,4,5}，B＝{5,6}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{5,6}C．{1,3,4,5,6}D．{2}[答案]D[解析]∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2}．3．(2015·天津理，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}[答案]A[解析]∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,5}．4．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝____________.[答案]{6,8}[解析]由条件知∁UA＝{6,8}，B＝{2,6,8}，∴(∁UA)∩B＝{6,8}．5．(2015·湖南文，11)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝________.[答案]{1,2,3}[解析]∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，{3}B⊆∁UA，求出所有满足要求的集合B．[解析]∵∁UA＝{3,4,5}，∴集合B满足的条件是{3}B⊆{3,4,5}，故所求集合B为{3,4}，{3,5}，{3,4,5}．课堂典例讲练设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则a的值为__________．[分析]涉及补集运算时，若集合是用列举法表示的，常用补集的定义求解．A∪∁UA＝U是解本题的关键．补集的运算[解析]因为∁UA＝{5}，且A∪∁UA＝{2，|2a－1|,5}＝U＝{2,3，a2＋2a－3}，∴a2＋2a－3＝5①|2a－1|＝3②，解①得a＝2或a＝－4；解②得a＝2或a＝－1.所以a的值为2.[答案]2[点评]在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪∁UA＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集求算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．(2014～2015学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)等于()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{2,4,5}D．{2,5}[答案]A[解析]∁UB＝{2,4,6}，∴A∩(∁UB)＝{2,4,6}.全集U＝{不大于15的正奇数}，M∩N＝{5,15}，∁U(M∪N)＝{3,13}，(∁UM)∩N＝{9,11}，求M.[分析]本题涉及关系较为复杂，可利用Venn图进行直观分析．[解析]如图所示，利用已知条件在各个对应区域填上相应元素．则M＝{1,5,7,15}．应用Venn图进行集合间的交、并、补运算已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝()A．MB．NC．ID．∅[答案]A[解析]如图所示由图可知M∪N＝M.已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁UA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析]∵∁UA＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.探索型问题对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B，如A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则有A－B＝{1,3}，B－A＝{4}．据此回答下列问题：(1)S是你所在班级全体同学的集合，A是你班全体女同学的集合，求S－A；(2)在如下图中，用阴影表示集合A－B．[解析](1)根据所给差集的定义，S－A＝{x∈S，且x∉A}＝∁SA(即你班全体男同学的集合)．(2)易错疑难辨析已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1}，B＝{x|2axa＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．[辨析]忽视了B是空集的情况，只求2a≥－1，虽然结果正确，但过程是错误的，实际上应分两种情况，即B＝∅与B≠∅讨论．[错解]∵A＝{x|x－1}，U＝R，∴∁RA＝{x|x≥－1}，又∵B⊆∁RA，∴2a≥－1，∴a≥－12.[正解]由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA．(2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2aa＋3，即－12≤a3.综上可得a≥－12.思想方法技巧1．“正难则反”法有些集合问题从正面考虑比较复杂，此时需要考虑问题的反面．然后再回到正面上来，我们把这种解决问题的方法叫做“正难则反”的方法，有时又叫“补集思想”的运用．具体规律如下：反演律(又叫德摩根定律)(1)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(2)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．[分析]A∩B≠∅的对立面为A∩B＝∅，故可先求出A∩B＝∅时m的取值范围，再用补集思想求A∩B≠∅时m的取值范围．[解析]先求A∩B＝∅时m的取值范围．①当A＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)0，所以2－m－30，m－1.②当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1、x2，则Δ＝－42－42m＋6≥0x1＋x2＝4≥0x1x2＝2m＋6≥0，即m≤－1m≥－3，解得－3≤m≤－1.综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．又因为m∈R，所以A∩B≠∅时，m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m－3}．所以A∩B≠∅时m的取值范围是{m|m－3.}．[点评](1)运用补集思想(“正难则反”法)求参数范围的方法：①把已知的条件否定，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应的参数范围取补集．(2)补集思想适用的情况．从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．2．图示法在进行集合的交、并、补综合运算时，为了保证运算的准确性、有效性、简捷性，通常要借助Venn图和数轴这两个有力的工具，数形结合来分析得出结果．一般来说，用列举法表示的数集或者研究比较抽象的集合之间关系时，用Venn图比较方便，如(∁UA)∩B，(∁UB)∩A等在图示法中的表示如图所示．如图所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：(1)(∁UA)∩B；(2)(∁UB)∩A；(3)A∩B；(4)∁U(A∪B)．用描述法表示的数集，特别是和不等式相关的集合之间的运算．通常用数轴分析得出结果，这样可以将抽象问题直观化．集合A＝{x|－6≤x≤1}，B＝{x|x－3或x0}，求A∪B和A∩B．[解析]∵A＝{x|－6≤x≤1}，B＝{x|x－3或x0}．在数轴上表示集合A、B如图所示，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R，A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}＝{x|－6≤x－3或0x≤1}．