高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性 第1课时 函数的单调性的定义公开课课

函数第二章2.1函数第二章1.1.3函数的单调性第1课时函数的单调性的定义课堂典例讲练2易错疑难辨析3课后强化作业5课前自主预习1思想方法技巧4课前自主预习很多数学概念都是现实世界的一种反映．从本质上看，函数单调性揭示的是一种变化趋势．趋势有很多种，例如股票震荡上升的趋势；全球的气候变化趋势；虽然不断有局部的战争和冲突，“和平与发展”却是国际关系的基本趋势．数学上的单调性，是绝对上升或下降的趋势，这是数学单调趋势的特征．怎样表示这种绝对的上升和下降呢？如果是有限个数字，把它们一个个排列起来就行了，现在的问题是有无限多个变量的值，没法排．数学的思考是“任意取两个，都是上升(下降)，保证不出意外”，这就是无限多个变量时，对“一个不能少”的数学处理．下面我们就一起来探索吧！1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1、x2，改变量Δx＝x2－x10，则当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是________，当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是________．2．如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间M上具有________．增函数减函数单调性3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________的，若f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐________的．4．用定义证明单调性的步骤：__________，________，________，________，________.上升下降取值作差变形定号结论1．函数f(x)＝2在[－2,4]上的单调性为()A．减函数B．增函数C．先减后增D．不具备单调性[答案]D[解析]当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)＝2在[－2,4]上不具有单调性．2．对于函数y＝f(x)，在给定区间内有两个值x1，x2，且x1x2，使f(x1)f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定[答案]D[解析]由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代替任意值，故选D．3．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)＝x2＋2x＋3的单调递增区间为____________．[答案][－1，＋∞)[解析]f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－1，故函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)．4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(x1)f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．[答案]x1x2[解析]根据减函数的定义可知，x1x2.5．(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x＋2x＋1，用单调性定义证明f(x)在(－1，＋∞)上是减函数．[证明]设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2.f(x2)－f(x1)＝x2＋2x2＋1－x1＋2x1＋1＝x1－x2x2＋1x1＋1∵x1x2，x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10，∴x1－x2x2＋1x1＋10，∴f(x2)f(x1)，∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数．课堂典例讲练证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．[分析]函数解析式和区间已给出，要证明函数是减函数，只需用定义证明即可．[证明]设x1x2≤－1，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)＝2(x－x)＋4(x2－x1)＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵x1x2≤－1，x1＋x2＋20，∴Δy0.∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．用定义证明函数的单调性证明函数f(x)＝－x在定义域上是减函数．[证明]易知f(x)＝－x的定义域为[0，＋∞)．设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝－x2－(－x1)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2.∵x1－x2＝－Δx0，x1＋x20，Δy0.∴f(x)＝－x在[0，＋∞)上是减函数．证明含参数的函数的单调性已知函数f(x)＝axx2－1(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．[解析]任取x1、x2，使得－1x1x21，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝ax1x2＋1x1－x2x21－1x22－1，∵－1x1x21，∴x1x2＋10，x21－10，x22－10，∴x1x2＋1x1－x2x21－1x22－10，∴当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当a0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．判断函数f(x)＝ax(a为常数且a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．[解析]任取x1、x2，使得0x1x2，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＝ax1－x2x1x2，∵0x1x2，∴x1x20，x1－x20，∴x1－x2x1x20，∴当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．综上所述，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝1fx在(0，＋∞)上的单调性，并证明．[分析]利用单调性的定义，判断F(x2)－F(x1)的符号即可．[解析]F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x10.证明抽象函数的单调性∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝1fx2－1fx1＝fx1－fx2fx2fx1，又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x10，∴Δy＝f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，∴f(x1)－f(x2)0.而f(x1)0，f(x2)0，∴f(x1)f(x2)0，∴F(x2)－F(x1)0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝f2(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明．[解析]F(x)在(0，＋∞)上为增函数．任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x10.∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝f2(x2)－f2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]，又y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且Δx＝x2－x10，∴f(x2)－f(x1)0，而f(x1)0，f(x2)0，∴f(x2)＋f(x1)0，∴F(x2)－F(x1)0，∴F(x)在(0，＋∞)上为增函数．易错疑难辨析证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．[错解]设x1、x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x31＋x1)－(x32＋x2)＝(x31－x32)＋(x1－x2)．∵x1x2，∴x31x32，x1－x20.∴x31－x320.∵两个负数相加依然为负，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)＝x3＋x在R上是增函数．[辨析]本题实质上就是证明y＝x3在R上是增函数．而由x1x2直接推出x31x32，这是将y＝x3为增函数作为依据，犯了循环论证的错误，即把要证明的结论当成了条件．[正解]设x1、x2∈R，且x1x2，则x2－x10，f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1)＝(x32－x31)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1)＝(x2－x1)x2＋x122＋34x21＋1.∵(x2＋x12)2＋34x21＋10，∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)．∴f(x)＝x3＋x在R上是增函数．思想方法技巧赋值法定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)，对于任意实数m、n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)求f(0)的值；(2)求当x0时，f(x)的取值范围；(3)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．[解析](1)令m＝0、n0，则有f(n)＝f(0＋n)＝f(0)·f(n)，又由已知，n0时，0f(n)1，∴f(0)＝1.(2)设x0，则－x0，f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)＝1，则f(x)＝1f－x，又∵－x0，∴0f(－x)1，∴f(x)∈(1，＋∞)．(3)f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数．证明：设x1、x2∈(－∞，＋∞)，且x1x2，则Δx＝x2－x10.又x1＝(x1－x2)＋x2，∴f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)·f(x2)，∴fx1fx2＝f(x1－x2)．∵x1x2，∴x1－x20，∴f(x1－x2)1，∴fx1fx21.由题设及(1)、(2)，知f(x1)、f(x2)∈R＋，故f(x1)f(x2)，∴Δy＝f(x2)－f(x1)0，即f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数．[点评]1.根据要求研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，其解法常采用定义法．2．遇到抽象函数问题，首先在问题区间上设x1x2，然后向已知区间转化，利用已知条件和函数单调性的定义解决问题．3．一般寓于特殊之中，抽象函数的求值可用赋值法，如何给变量赋值，要根据条件与结论的暗示与联系，有时要进行多次尝试方可解决问题．