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第十八章平行四边形18.1、2平行四边形的判定（1）学习目标1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.（难点）2.掌握平行四边形的四个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理．（重点）3.从具体情景出发，寻找识别平行四边形的方法，能用语言表达自己发现的结果.(难点)一、设计问题，创设情境老师在实验室碰碎了一块平行四边形的玻璃片,玻璃片恰恰从顶点A、C处碎掉，剩下部分如图。老师想去割一块赔给学校,可带上玻璃又不安全,于是想把原来的平行四边形画出来,然后带上图纸就行了.你能帮老师画出原来的平行四边形呢？B即找出四边形的第四个顶点D,并使他成为平行四边形三、学生探究、尝试解决•问题1你是如何确定第四个顶点的？•能判定它是平行四边形吗？•问题2你发现(或猜想)•平行四边形有•哪些判定方法？ABC问题1你是如何确定第四个顶点的？能判定它是平行四边形吗？问题2你发现(或猜想)平行四边形有哪些判定方法？ABC平行四边形的判定定理1小强提议说：我们可以度量它的边，如果它的两组对边分别相等，那么它就是一个平行四边形.你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ABCD已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD连结AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)BC=DA(已知)AC=CA(公共边)∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。证明：1423判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.小伟提议说：我们可以度量它的角，如果它的两组对角分别相等，那么它就是一个平行四边形.ABCD你能根据平行四边形的定义证明它们吗？平行四边形的判定定理2已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°即∠A+∠B=180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.同理得AB∥CD证明：判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定定理3小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形.”只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号.然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号的点分成的两段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”你能用平行四边形的定义进行证明吗?ABCDABCDO已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO.∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形ABCD求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连接AC∵AD∥BC∴∠1=∠2又∵AD=BC，AC=CA，∴ΔABC≌ΔCDA（SAS）∴∠3=∠4∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形已知：在四边形ABCD中，ADBC。(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)你还有其他证法吗？猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3142∵AD∥BC判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定方法5:符号语言：∵ABCD∴四边形ABCD是平行四边形ABCD你的结论想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1）从角考虑两组对角分别相等的四边形是平行四边形（判定定理2）从对角线考虑对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理4）三、信息交流，得出新知例1如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．BODACEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又BO=DO.∴四边形BFDE是平行四边形.想想还有其他证法吗？分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CD．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴BE=DF．例4.已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．四、巩固基础，学以致用参考答案：