八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数课件 （新版）新人教版

初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数知识点一一次函数解析式的确定名称定义应用步骤图示待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知系数),再根据条件列出方程(组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法设:设函数关系式为y=kx+b(k≠0);代:将已知点的坐标代入所设关系式中,得到关于k、b的方程(组);解:解方程(组)求得系数的值;写:将k、b的值代回关系式中并写出关系式 例1(2018福建厦门一模)如图19-2-2-2-1,在平面直角坐标系中,直线l经过第一、二、四象限,点A(0,m)在直线l上.(1)在图中标出点A;(2)若m=2,且l过点(-3,4),求直线l的表达式. 图19-2-2-2-1分析(1)利用y轴上点的坐标性质得出A点的位置;(2)利用待定系数法求出直线l的表达式即可.解析(1)点A的位置如图19-2-2-2-2所示: 图19-2-2-2-2(2)设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,2),(-3,4)分别代入y=kx+b,得 解得 故直线l的表达式为y=- x+2.2,34,bkb2,32,kb23点拨利用待定系数法求一次函数的解析式时,一定要有两个独立的条件,如两个点的坐标,或x与y的两对对应值等.知识点二一次函数的应用一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模型,通过一次函数解决实际问题.温馨提示在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定限制时,函数y=kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线,要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等.例2某校为了实施“大课间”活动,计划购买篮球、排球共60个,跳绳120根,已知一个篮球70元,一个排球50元,一根跳绳10元.设购买篮球x个,购买篮球、排球和跳绳的总费用为y元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若购买上述体育用品的总费用为4700元,则篮球、排球各买多少个?分析(1)根据“总费用=购买篮球的费用+购买排球的费用+购买跳绳的费用”即可求出结果;(2)把y=4700代入(1)中求出的解析式就可以求出购买篮球的个数,从而求出购买排球的个数.解析(1)依题意得y=70x+50×(60-x)+10×120=20x+4200(0≤x≤60且x为正整数).(2)当y=4700时,有4700=20x+4200,解得x=25.所以购买排球60-25=35(个).答:购买篮球25个,购买排球35个.题型一一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点在x轴上.(1)求一次函数的解析式;(2)此函数的图象经过哪几个象限?(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.分析(1)先确定直线y=4x-3与x轴的交点坐标,然后利用待定系数法求出一次函数的解析式;(2)由k,b的符号确定一次函数的图象经过的象限;(3)若要求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积,则先要求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标,然后利用三角形的面积公式求解.解析(1)对于一次函数y=4x-3.当y=0时,x= .∴它与x轴的交点坐标为 ,∴直线y=kx+b经过点(3,-3)和点 ,∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y=- x+1.(2)∵k=- 0,b=10,∴一次函数y=- x+1的图象经过第一、二、四象限.(3)∵当x=0时,y=1,当y=0时,x= ,343,043,0433,30,4kbkb4,31.kb43434334∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积S= |x|·|y|= .方法归纳求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积是一次函数中的常见题型,解此类问题的关键是求出直线与x轴,y轴的交点坐标,从而确定所求直角三角形的两条直角边的长.1238题型二借助于函数图象求解析式例2对某市甲、乙两商场的员工工资与销售量进行调查分析,图19-2-2-2-3中的l1、l2分别表示甲、乙两商场每月付给员工的工资y1(元)、y2(元)与销售商品的件数x(件)的关系. 图19-2-2-2-3(1)根据图象分别求出y1、y2与x的函数关系式;(2)根据图象直接回答:哪个商场付给员工的工资多一些.解析(1)设y1与x的函数关系式为y1=k1x(k1≠0),将(40,600)代入,得600=40k1,解得k1=15,故y1与x的函数关系式为y1=15x(x≥0且x为整数).设y2与x的函数关系式为y2=k2x+400(k2≠0),将(40,600)代入,得600=40k2+400,解得k2=5,故y2与x的函数关系式为y2=5x+400(x≥0且x为整数).(2)根据图象可知,当销售件数大于40时,甲商场付给员工的工资多一些;当销售件数小于40时,乙商场付给员工的工资多一些;当销售件数等于40时,甲商场与乙商场付给员工的工资一样多.点拨一次函数表达式的确定通常有以下几种情况:(1)通过分析数量(等量)关系得出一次函数表达式.(2)利用函数图象,根据直线上两点的坐标确定k,b的值,求出一次函数表达式.(3)从已知条件出发,通过数学建模,得出一次函数表达式.例3(2018湖南邵阳模拟)虽然近几年无锡市政府加大了对太湖水的治污力度,但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷,部分太湖水域水质恶化,富营养化的问题不断加剧.为了节约水资源,我市制定了一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费做出如下规定:题型三利用一次函数解决实际问题月用水量(吨)单价(元/吨)不大于10吨的部分1.5大于10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50)2大于m吨的部分3(1)若某用户六月份用水量为18吨,求其应缴纳的水费;(2)记该用户六月份用水量为x吨,缴纳水费为y元,试求出y与x的函数关系式;(3)若该用户六月份用水量为40吨,缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90,试求m的取值范围.分析(1)由题表知月用水量为18吨时,缴纳的水费包括两部分:10吨以内和超过10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50);(2)利用月用水量的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可;(3)将x=40代入(2)中求得函数的解析式,根据缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90列出关于m的不等式,求解即可.解析(1)∵18m恒成立,∴前面10吨生活用水每吨收费1.5元,后面8吨生活用水每吨收费2元,∴应缴纳的水费为10×1.5+(18-10)×2=31(元).(2)①当0≤x≤10时,y=1.5x;②当10x≤m时,y=10×1.5+(x-10)×2=2x-5;③当xm时,y=10×1.5+(m-10)×2+(x-m)×3=3x-m-5,∴y= (3)∵20≤m≤50,∴当用水量为40吨时有两种可能的收费方式,①当40≤m≤50时,此时x=40≤m,1.5(010),25(10),35().xxxxmxmxm故缴纳的水费为2×40-5=75元,符合题意;②当10≤m40时,此时x=40m,故缴纳的水费为3x-m-5=(115-m)元,则70≤115-m≤90,解得25≤m≤45,∴此状况下25≤m40.综上所述,可知m的取值范围为25≤m≤50.易错点考虑问题不周导致漏解例已知一次函数中自变量x的取值范围为-2≤x≤6,相应的函数值的取值范围为-11≤y≤9,求此函数的解析式.正解设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),由题意,得 或 解得 或 所以该一次函数的解析式为y= x-6或y=- x+4.211,69kbkb29,611,kbkb5,26kb5,24.kb5252错解只求出一个解析式,漏掉其中一种情况.错解警示当只给出自变量和函数值的取值范围时,因为没有明确告知函数的增减性,所以必须分y随x增大而增大和y随x增大而减小这两种情况讨论,分别求出相应的函数解析式.1.一次函数y=kx+b的图象如图19-2-2-2-1所示,则k、b的值分别为 () 图19-2-2-2-1A.k=- ,b=1B.k=-2,b=1C.k= ,b=1D.k=2,b=11212知识点一一次函数解析式的确定答案B由题图可知该一次函数的图象经过点(0,1), ,将这两点坐标代入该一次函数的解析式得 解得 故选B.1,021,10,2bkb2,1.kb2.李大爷要围一个矩形菜园,菜园的一边是足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米,要围成的菜园为矩形ABCD,如图19-2-2-2-2所示.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是 () 图19-2-2-2-2A.y=-2x+24(0x12)B.y=- x+12(0x24)12知识点二一次函数的应用C.y=2x-24(0x12)D.y= x-12(0x24)12答案B根据题意,得x+2y=24,所以y=- x+12,因为菜园的一边是足够长的墙,所以0x24.故选B.123.(2017浙江绍兴中考)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图19-2-2-2-3所示.(8分)(1)若每月用水量为18立方米,则应交水费多少元?(2)求当x18时,y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元,则小敏家这个月的用水量为多少立方米? 图19-2-2-2-3解析(1)由题图可知,每月用水量为18立方米时,应交水费45元.(2)设当x≥18时,函数表达式为y=kx+b(k≠0),将(18,45)、(28,75)代入函数表达式得 解得 ∴y=3x-9(x18).将y=81代入函数表达式得3x-9=81,解得x=30.故小敏家这个月的用水量为30立方米.1845,2875,kbkb3,9,kb电力公司为了鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费的方法,已知某用户每月应缴电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图),根据图象解答下列问题.(1)分别写出当0≤x≤100和x100时,y与x之间的函数解析式;(2)根据函数解析式,说明电力公司采取的收费标准;(3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费105元,则该用户该月用了多少度电?解析(1)设当0≤x≤100时,函数解析式为y=kx(k≠0),将x=100,y=65代入,得65=100k,解得k=0.65,∴y=0.65x.设当x≥100时,函数解析式为y=ax+b(a≠0),将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得 解得 ∴y=0.8x-15.10065,13089,abab0.8,15,ab综上所述,y= (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电收费0.65元;月用电量超过100度时,超过的部分每度电收费0.8元.(3)若该用户某月用电62度,则该用户该月应缴费0.65×62=40.3(元);若该用户某月缴费105元,则该用户该月用电量为100+(105-65)÷0.8=150(度).0.65(0100),0.815(100).xxxx1.根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值,可得p的值为 ()x-201y3p0A.1B.-1C.3D.-3答案A设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),将(-2,3),(1,0)分别代入得 解得 所以y=-x+1,当x=0时,y=1,所以p=1,故选A.23,0,kbkb1,1,kb2.如图19-2-2-2-4,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=. 图19-2-2-2-4答案-8解析因为y=k