八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 19.2.2.2 一

初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数知识点一正比例函数的定义定义举例正比例函数一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数如y=-3x,y= x均为正比例函数,比例系数分别为-3, 知识详解(1)如果两个变量的比值是一个常数,那么这两个变量之间的关系就是正比例函数关系.(2)正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)必须满足两个条件:①比例系数k≠0;②自变量x的次数是11212例1下列函数中,是正比例函数的是 ()①y=kx;②y=- x;③y= ;④y=-x2;⑤y=-1+x.A.①③B.②C.①③⑤D.①②④131x解析根据正比例函数的定义进行判断.①y=kx,未标明k为常数且k≠0;③y= 不能化为y=kx(k≠0)的形式;④y=-x2不能化为y=kx(k≠0)的形式;⑤y=-1+x,即y=x-1,也不能化为y=kx(k≠0)的形式.只有②是正比例函数.故选B.1x答案B解题归纳(1)判断一个函数是不是正比例函数,就是判断该函数能否化成y=kx(k≠0)的形式;(2)若一个函数是正比例函数,则必有k为常数,k≠0且x的次数为1,关于自变量x的代数式必为单项式.知识点二正比例函数的图象与性质k0k0图象  图象形状过原点,从左向右是上升的直线(/)过原点,从左向右是下降的直线(\)经过的象限第一、三象限第二、四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小例2在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较:(1)y= x;(2)y=- x.1212分析先确定函数自变量的取值范围,然后依次列表、描点、连线,即可得到函数图象,再进行比较.解析列表:x…-4-2024…y= x…-2-1012…y=- x…210-1-2…1212描点、连线,如图19-2-1-1所示: 图19-2-1-1比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过原点的直线.函数y= x的图象从左向右呈上升趋势,依次经过第三、第一象限,即y随x的增大12而增大;函数y=- x的图象从左向右呈下降趋势,依次经过第二、第四象限,即y随x的增大而减小.方法归纳画正比例函数y=kx(k≠0)的图象可以只取点(0,0)和点(1,k)作直线即可,这种方法叫做两点法.直线y=kx(k≠0)上y随x的变化规律由k的符号决定,k0(k0),则y随x的增大而增大(减小).12例3已知正比例函数y=(m+1)x,且y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ()A.m-1B.m-1C.m≥-1D.m≤-1解析∵正比例函数y=(m+1)x中,y随x的增大而减小,∴m+10,解得m-1.故选A.答案A知识点三正比例函数的解析式步骤①设出含有未知系数的函数解析式y=kx(k≠0);②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于未知系数k的方程;③解方程,求出未知系数k;④将求得的未知系数k的值代入所设的解析式方法点拨由于正比例函数只有一个未知系数k,所以只需知道图象上的一个点(非原点)的坐标就可以求出正比例函数的解析式例4正比例函数y=kx的图象经过点A(1,3).(1)求这个函数的解析式;(2)请判断点B(2,6)是否在这个正比例函数的图象上,并说明理由.分析(1)把A(1,3)代入y=kx得到方程,求出方程的解即可;(2)把x=2代入y=3x(由(1)得出的)看解出的y是否为6即可.解析(1)把A(1,3)代入y=kx得k=3,∴y=3x.(2)点B(2,6)在这个正比例函数的图象上.理由:把x=2代入y=3x得y=3×2=6,∴点B(2,6)在这个正比例函数的图象上.例1若函数y=(2-m) 是关于x的正比例函数,则常数m的值等于 ()A.±2B.-2C.± D.- 23mx33题型一根据正比例函数的定义求参数的值解析根据题意得m2-3=1且2-m≠0,解得m=±2且m≠2,所以m=-2.故选B.答案B例2如图19-2-1-2所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4,则下列关系中正确的是 () 图19-2-1-2A.k1k2k3k4B.k2k1k4k3C.k1k2k4k3D.k2k1k3k4题型二根据正比例函数的图象和性质比较比例系数的大小解析根据直线经过的象限,知k20,k10,k40,k30,再根据直线越陡,|k|越大,知|k2||k1|,|k4||k3|,则k2k1k4k3.答案B点拨解决此类问题首先根据直线经过的象限判断k的正负,再进一步根据直线的变化趋势判断k的绝对值的大小,直线越平缓,k的绝对值越小,直线越陡,k的绝对值越大,最后判断比例系数的大小.例3已知正比例函数y1=k1x,当x每增大1个单位时,y1增加6个单位;y2=k2x,当x每增大1个单位时,y2减少2个单位,且y=2y1+3y2.(1)确定y与x的函数解析式,并计算当x=-2时的函数值;(2)当函数值y是12时,求自变量x的对应值.题型三利用正比例函数性质求解析式分析如果正比例函数值着自变量增大1个单位时,函数值的增加量是某个数值,那么比例系数的值就是这个增量;反之如果函数随着自变量增大1个单位时,函数值的减少量是某个数值,那么比例系数就是这个减少量的相反数.解析(1)因为y1随x增大1个单位而增加6个单位,所以y1=6x,因为y2随x增大1个单位而减少2个单位,所以y2=-2x,又y=2y1+3y2,所以y=2×6x+3×(-2x),即y=6x.因此当x=-2时,函数值y=-12.(2)若函数值y=12,则6x=12,解得x=2.易错点一对定义理解不透彻,在求字母取值时出错例1当m=时,函数y= -6m-12是正比例函数.23mx正解-2错解±2错解辨析∵y= -6m-12是正比例函数,∴m2-3=1,解得m=±2.很多同学解题到此为止,而忽略条件-6m-12=0.若一个函数是正比例函数,则它的表示形式一定要符合y=kx(k是常数,k≠0)的形式.23mx易错点二运用正比例函数图象求解时,考虑不全面导致漏解例2在直角坐标系中,直线y=6与y=kx相交于点A,直线y=6与y轴交于点B,若△AOB的面积为12,求k的值.正解根据题意画图(图略),当k0时,A ,此时S△AOB= × ×6=12,解得k= .当k0时,A' ,此时S△A'OB= OB·BA'= × ×6=12,解得k=- .综上,k=± .6,6k126k326,6k12126k3232错解由题意知A ,B(0,6),AB⊥y轴,∴S△AOB= ×6× =12,解得k= .错解警示解题时没有给出函数图象,直线有可能从左往右上升,也有可能下降,即k的值有正、负两种情况,解题时忽略掉任何一种情况都是6,6k126k32错误的,根据题目给出的条件画出图象,分类讨论求解.1.(2017天津期末)下列变量之间的关系中,一个变量是另一个变量的正比例函数的是 ()A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化B.正方形的周长C随着边长x的变化而变化C.水箱有水10L,以0.5L/min的速度往外放水,水箱中的剩余水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化D.面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化知识点一正比例函数的定义答案B列出关系式,四个选项分别是S=x2,C=4x,V=10-0.5t,a= ,只有C=4x符合正比例函数的定义,故选B.40h2.(2016陕西西安音乐学院附中期末)若y=(m-1) 是正比例函数,则m的值为 ()A.1B.-1C.1或-1D. 或- 22mx22答案B由题意得2-m2=1且m-1≠0,解得m=±1且m≠1,∴m=-1.知识点二正比例函数的图象与性质3.对于正比例函数y=(1-k)x,若y随x的增大而减小,则k的值可以是 ()A.-1B.3C.0D.-3答案B∵y随x的增大而减小,∴1-k0,∴k1.选项中各数符合条件的数只有3.故选B.4.如图19-2-1-1,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax;②y=bx;③y=cx,则a、b、c的大小关系是 () 图19-2-1-1A.abcB.cbaC.bacD.bca答案C首先根据图象经过的象限可知a0,b0,c0,再根据直线越陡,|k|越大,得bac.故选C.5.(1)在同一直角坐标系内画出正比例函数y=-2x与y=0.5x的图象;(2)用量角器量一下这两条直线的夹角,你会发现什么?写出你的猜想.解析(1)如图. (2)两条直线的夹角为90度.猜想:当两个正比例函数中自变量的系数之积为-1时,它们的图象的夹角为90度,即两直线互相垂直.6.三角形的一边长为6,该边上的高为x,则三角形的面积S与x之间的函数关系式为.知识点三正比例函数的解析式答案S=3x解析由三角形的面积公式可得S= ×6x,即S=3x.127.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点(-3,6).(1)求y关于x的函数关系式;(2)当x=-6时,求对应的函数值y;(3)当x取何值时,y= ?23解析(1)设正比例函数的关系式为y=kx(k≠0),∵图象经过点(-3,6),∴-3k=6,解得k=-2,所以,此函数的关系式是y=-2x.(2)把x=-6代入函数关系式可得y=-2×(-6)=12.(3)把y= 代入函数关系式可得 =-2x,解得x=- .2323131.已知y=(k+3)x+9-k2是正比例函数,则k=,该函数的关系式是.答案3;y=6x解析由题意得9-k2=0且k+3≠0,解得k=3,所以此函数关系式为y=6x.2.已知关于x的函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=,若y随x的增大而减小,则k的取值范围是.答案 ;k012解析∵函数的图象经过原点,∴4k-2=0,∴k= .当k0时,y随x的增大而减小.121.若在正比例函数y=kx(k≠0)中,自变量x的取值每增加1,函数值相应地减小4,则k的值为 ()A.4B.-4C. D.- 1414答案B当x变为x+1时,函数值变为y-4,所以y-4=k(x+1),即y-4=kx+k,所以kx-4=kx+k,所以k=-4.故选B.2.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),当-3≤x≤1时,对应的y的取值范围是-1≤y≤ ,且y随x的减小而减小,则k的值为.13答案 13解析∵y随x的减小而减小,∴当x=-3时,y=-1,代入y=kx(k是常数,k≠0),得-1=-3k,所以k= .131.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中k的值可能是 () A.1B.2C.3D.4答案B根据图象,得2k6,3k5,解得 k3.选项中符合条件的数只有2.故选B.532.(2016浙江丽水中考)在平面直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是 ()A.M(2,-3),N(-4,6)B.M(-2,3),N(4,6)C.M(-2,-3),N(4,-6)D.M(2,3),N(-4,6)答案A设过点M的正比例函数图象对应的解析式为y=kx(k≠0).由-3=2k,得k=- ,∵-4× =6,∴M,N在同一个正比例函数的图象上,故A正确;由3=-2k,得k=- ,∵4× =-6≠6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,B错误;由-3=-2k,得k= ,∵4× =6≠-6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,C错误;由3=2k,得k= ,∵-4× =-6≠6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,D错误.故选A.32323232323232323.已知正比例函数y=(2t-1)x的图象上一点(x1,y1),且x1y10,则t的取值范围是 ()A.t0.5B.t0.5C.t0.5或t0.5D.不确定答案A因为x1y10,所以x1,y1异号,即该点的横、纵