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初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数知识点一函数的图象内容叙述一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象知识详解(1)函数图象上的任意点(x,y)中的x、y都满足函数关系,另一方面,满足函数关系的任意一对有序实数对(x,y)所对应的点一定在函数的图象上.(2)有些问题中的函数关系很难用式子表示,但是可以用图象直观地反映,即使对于能列式表示的函数关系,如果用图象表示出来,也会使函数关系更加直观特别提醒函数图象上的所有点与函数关系中的两个变量的关系是一一对应的,它们是函数中的两个变量间的关系的两种不同的呈现方式(一个是“数”,一个是“形”)例1(2017浙江绍兴中考)匀速地向一个容器注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图19-1-2-1所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是 () 图19-1-2-1 解析从折线图可以看出AB段水面上升的速度小于OA段水面上升的速度小于BC段水面上升的速度,所以AB段代表的部分的底面积最大,OA段次之,BC段最小,符合这一情况的只有D.答案D规律总结图象是直线,在相同的时间内,直线的倾斜程度决定了增加(减小)的幅度,直线越缓,说明增长(降低)幅度越慢;直线越陡,说明增长(降低)幅度越快.知识点二函数图象的画法内容画函数的图象我们通常采用描点法,画函数图象分为三步:列表,描点,连线知识详解(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.(2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点.(3)连线:按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来温馨提示(1)列表时,自变量的取值应具有一定的代表性,并且按从小到大的顺序选取,自变量如能为0,则尽量取0,以便全面地反映图象的情况.(2)描点时要以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系中准确描点例2画出函数y=-2x+1的图象.解析(1)从式子可以看出,x取任意实数时,这个式子都有意义,故x的取值范围是全体实数,我们从x的取值范围中任取一些数,算出y的对应值,列表如下:x…-3-2-10123…y=-2x+1…7531-1-3-5…(2)根据表中数值及函数图象的意义,把x与y的每对对应值当作点的横、纵坐标,即……、(-3,7)、(-2,5)、(-1,3)、(0,1)、(1,-1)、(2,-3)、(3,-5)、……,在平面直角坐标系中描出这些点.(3)按照自变量由小到大的顺序把这些点用平滑的曲线连接起来,即得函数y=-2x+1的图象,如图19-1-2-2. 图19-1-2-2温馨提示列表时,自变量的取值应注意兼顾原则,既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小,要便于描点和全面反映图象情况.知识点三函数的三种表示方法表示方法定义优点缺点解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法能准确地反映整个变化过程中两个变量间的关系有些实际问题不一定能用解析式表示出来列表法把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法由表中已有自变量的每一个值可以直接得出相应的函数值自变量的值不能一一列出,也不容易看出自变量与函数之间的对应关系图象法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法能直观、形象地表达函数关系观察图象只能得到近似的数量关系例3水箱中有水500L,现在往外放水,每分钟放水50L,请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(L)与放水时间t(min)之间的函数关系.解析(1)解析式法:解析式为y=500-50t(0≤t≤10).(2)列表法:表格如下.t01234…78910y500450400350300…150100500(3)图象法:图象如图19-1-2-3所示. 图19-1-2-3温馨提示纵轴和横轴上的点表示的是具有不同意义的量,因此两轴可以取不同的单位长度.无论用哪种表示方法,在实际问题中都要注意自变量的取值要符合实际意义.例1小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,在原地休息了6分,然后以500米/分的速度骑回出发地.v为速度,s为距出发地的距离,t为时间,则下列函数图象能表达这一过程的是 () 题型一确定函数的图象解析第一段,从出发地到休息地,小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,路程为400×5=2000(米),即2千米,C、D选项均符合;第二段,休息时间为6分钟,速度为0千米/分,A、B选项中第二段函数图象均不符合;第三段,从休息地返回出发地,速度为500米/分,故用时为 =4分,则回到出发地时为第15分,此时距出发地的距离为0千米,D选项中第三段函数图象不符合,故选C.2000500答案C题型二图象读取信息例2一菜农带了若干千克土豆进城销售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出土豆的质量与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图19-1-2-4所示,结合图象回答下列问题: 图19-1-2-4(1)菜农自带的备用零钱是多少?(2)降价前每千克土豆出售的价格(即市场价格)是多少?(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,请问他一共带了多少千克土豆?分析观察图象,发现卖0千克土豆时手中有5元钱,30千克土豆卖了20-5=15元钱,故降价前土豆价格为 =0.5(元/千克).降价后卖了26-20=6元,则降价后卖了土豆 =15千克,故共带了30+15=45千克土豆.153060.4解析(1)由图象可得,当出售土豆0千克时,手中持有钱数为5元,故菜农自带的备用零钱为5元.(2)当出售土豆30千克时,钱数为20元,故降价前价格为 =0.5(元/千克).(3)降价后出售的土豆为 =15(千克),共带土豆30+15=45(千克).所以菜农一共带了45千克土豆.点拨在解决有关函数图象的应用探究及开放型题时,正确识图、合理判断、深刻理解是解题的关键.2053026200.4例3某商店零售一种商品,其质量x(千克)与总价y(元)之间的关系如下表:根据销售经验可知,在此处购买这种商品的顾客所买商品均未超过8千克.(1)由上表求出总价y(元)关于质量x(千克)的函数解析式,并画出函数的图象;(2)李大婶购买这种商品5.5千克,应付多少元钱?x/千克12345678y/元2.44.87.29.61214.416.819.2题型三函数三种表示方法的相互转化解析(1)观察题表可知质量每增加1千克,总价就增加2.4元,这样的变化规律可以表示为y=2.4x(0≤x≤8).这个函数的图象如图19-1-2-5所示. 图19-1-2-5(2)将x=5.5代入解析式,得y=2.4×5.5=13.2.所以李大婶购买这种商品5.5千克,应付13.2元钱.点拨表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为了全面地认识问题,需要几种方法同时使用,本题涉及列表法、图象法、解析式法.例一根蜡烛长12cm,小明对蜡烛长度l(cm)和燃烧时间t(h)做了记录,列成表格如下:(1)用解析式法表示l(cm)与t(h)之间的函数关系;(2)用图象法表示这一函数关系.t/h0123456l/cm121086420易错点忽略实际问题中自变量的取值范围,致使画图象时出错 图19-1-2-6正解(1)观察表格可知,开始时蜡烛长12cm,以后每隔1h,蜡烛长度减少2cm,这样的变化规律可以表示为l=12-2t(0≤t≤6).(2)画出函数图象如图19-1-2-6所示.错解(1)观察表格可知,开始时蜡烛长12cm,以后每隔1h,蜡烛长度减少2cm,这样的变化规律可以表示为l=12-2t.(2)图象如图19-1-2-7. 图19-1-2-7错解警示在这个实际问题中,忽视了自变量的取值范围为0≤t≤6,从而将图象画成了直线.在涉及实际问题的函数解析式时,一定要注意自变量的取值范围,画实际问题的函数图象时,图象一定是在自变量取值范围内的图象.1.(2018内蒙古通辽中考)小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时间后到达学校,小刚从家到学校的路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是 () 知识点一函数的图象答案B小刚从家到学校的路程s(m)应随他行走的时间t(min)的增大而增大,因而选项A一定错误;而在等车的时候离家的路程不变,因此C、D错误;所以能反映小刚从家到学校行走路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是B,故选B.2.某日上午,静怡同学接到通知,她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,静怡立即在电脑上打字录入这篇文稿,录入一段时间后因事暂停,过了一会儿,静怡继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x,录入字数为y,下面能反映y与x的函数关系的大致图象是() 答案C接到通知后,静怡立即在电脑上打字录入这篇文稿,所以函数图象平缓上升;录入一段时间后因事暂停,录入字数不变,函数图象保持水平;过了一会儿,静怡继续录入并加快了录入速度,函数图象上升,且比开始时上升得快.综合这些信息可知答案为C.3.星期天,小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游,匀速骑行1.5小时后,其中一辆自行车出现故障,因此二人在自行车修理点修车,用了半小时,然后以原速继续前行,骑行1小时后到达目的地.请在如图19-1-2-1所示的平面直角坐标系中画出符合他们骑行的路程s(千米)与骑行时间t(小时)之间的函数图象. 图19-1-2-1知识点二函数图象的画法解析由题意可知,共骑行2.5小时走完全程50千米,所以前1.5小时走了30千米,修车用了0.5小时后继续骑行1小时,走了20千米,由此作图如图所示. 4.已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示:则y与x对应的函数关系可能是 ()A.y=xB.y=2x+1C.y=x2+x+1D.y= x-101y-1133x知识点三函数的三种表示方法答案B将3组x、y的对应值分别代入A、B、C、D四个选项中的函数关系式,都成立的是选项B.5.商场进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润,其数量x(米)与售价y(元)如下表:下列用数量x(米)表示售价y(元)的关系式中,正确的是 ()A.y=8x+0.3B.y=(8+0.3)xC.y=8+0.3xD.y=8+0.3+x数量x(米)1234…售价y(元)8+0.316+0.624+0.932+1.2…答案B依题意得y=(8+0.3)x.故选B.“六一”儿童节期间,学校用花盆装饰校园,爱动脑筋的王文看着各种各样美丽的图案(如图),思考了这样一个有趣的问题: 按照这样的规律摆下去,如果每边有10个花盆,那么摆出三角形的图案需要几个花盆?如果每边有n(n1且n为整数)个花盆,那么摆出三角形的图案需要几个花盆?王文列出了一个表格,用来找出每边花盆数n与花盆总数S之间的函数关系式,请你填表.每边花盆数n23456…花盆总数S…解析题表中依次填3,6,9,12,15.当每边有10个花盆时,摆出三角形的图案需要27个花盆.当每边有n个花盆时,摆出三角形的图案需要(3n-3)个花盆.故n与S之间的函数关系式为S=3n-3(n1且n为整数).1.(2018湖北随州中考)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始时领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行,最终赢得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是 () 答案B乌龟匀速爬行,兔子因在比赛中间睡觉,导致开始时领先,最后输掉比赛,所以线段表示乌龟比赛中路程与时间的关系,折线表示兔子比赛中路程与时间的关系,跑到终点兔子用的时间多于乌龟所用的时间.A中,乌龟用时多,不合题意;C中,兔子和乌龟用时相同,不合题意;D中,乌龟虽然用时少,但图象显示比赛一开始,乌龟就领先,不合题意,只有B选项符合题意.2.(20