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初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数第十九章一次函数知识点一常量与变量名称定义区别举例变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫变量“变量”是可以变化的,而“常量”是已知数S=πR2中,S、R是变量,π是常量常量在一个变化过程中,数值始终不变的量叫常量温馨提示变量和常量往往是相对的,对不同的研究过程而言,其中的变量和常量是不相同的,变量与常量的身份是可以相互转换的例1指出下列各式中的变量与常量.(1)圆的周长公式:C=2πr(C是周长,r是半径);(2)匀速运动路程公式:s=vt(v表示速度,t表示时间,s表示路程).分析(1)中,2和π是保持不变的量,而r和C可以取不同的数值.(2)中,因为是匀速运动,所以v保持不变,s和t可以取不同的数值.解析(1)变量是r、C,常量是2、π.(2)变量是s、t,常量是v.温馨提示在一个变化过程中,变量或常量可以不止一个.知识点二函数的概念及函数值内容(1)函数:一般地,在一个变化过程中,有两个变量,x和y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,把y称为x的函数.(2)函数值:对于一个函数,当自变量x=a时,我们可以求出与它对应的y的值,我们就说这个值是x=a时的函数值知识详解(1)对函数定义的理解把握三点:①有两个变量;②一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应.(2)函数表示的是两个变量之间的一种关系,而函数值是一个数值.(3)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否有关系式存在,因为有些函数关系是没有关系式的例2下列变量间的关系是函数关系的是.①长方形的长与面积;②圆的面积与半径;③y=± ;④S= ah中的S与h.x12解析①因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方形的长与面积不是函数关系.②因为圆的面积公式为S=πr2,当半径r取一个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.③当x=1时,y有±1两个值与之对应,即当x取一个确定的值时,y的值并不唯一,所以y=± 不是函数关系.④因为a不确定,所以S= ah中有S、a、h三个变量,故S与h不是函数关系.x12答案②解题归纳本题考查函数关系的确定,根据函数的定义确定是不是两个变量,且当一个变量取一个值时,另一个变量是否有唯一值与之对应.例3已知y=2x2+4.(1)求当x取 和- 时的函数值;(2)求当y取10时x的值.1212解析(1)当x= 时,y=2× +4= .当x=- 时,y=2× +4= .(2)当y=10时,有2x2+4=10,即x2=3,解得x=± .解题归纳当函数用关系式表示时,求函数值的实质就是求代数式的值;若已知函数值,欲求自变量的值,实质就是解方程.1221292122129231.不同类型的函数解析式中自变量取值范围的求解方法类型特点举例取值范围整式型等号右边是整式y=2x2+3x-1全体实数分式型等号右边的自变量在分母上y= 使分母不为0的实数根式型等号右边是二次根式y= 使根号下的式子大于或等于0的实数综合型等号右边同时有分式、二次根式或零指数幂等y= 使各部分都有意义的实数的公共部分1x1x3x2x5知识点三自变量的取值范围2.当用函数解析式表示实际问题时,自变量的取值不但要使函数解析式有意义,还必须符合实际意义.例4求下列函数中自变量x的取值范围.(1)y=2x-3;(2)y=3x2-4x+1;(3)y= ;(4)y= ;(5)y= .11x3xx21xx分析(1)(2)等号右边是整式,x可为任意实数;(3)要保证分母不为零;(4)(5)要保证被开方数为非负数且分母不等于零.解析(1)x的取值范围为一切实数.(2)x的取值范围为一切实数.(3)由题意得x+1≠0,所以x的取值范围为x≠-1.(4)由题意得x+3≥0且x+3≠0,所以x的取值范围为x-3.(5)由题意得x+2≥0且x-1≠0,所以x的取值范围为x≥-2且x≠1.例1父亲告诉小明:“距离地面越高,温度越低.”并给小明出示了下面的表格.根据上表,父亲还给小明提出了下面几个问题,请你帮小明回答下列问题.(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?(2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着h的变化,T是怎样变化的?(3)你能猜出距离地面6km的高空温度是多少吗?距离地面的高度(km)012345温度(℃)201482-4-10题型一用表格表示两个变量的关系解析(1)表格反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系,距离地面的高度是自变量.(2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着高度h的增大,温度T逐渐减小.(3)由表格发现距离地面的高度每上升1km,温度下降6℃,所以距离地面6km的高空温度是-16℃.例2函数y= -(x-2)0中,自变量x的取值范围是.3xx题型二求解析式中自变量的取值范围解析根据题意得,被开方式x≥0,分母x-3≠0且底数x-2≠0,解得x≥0且x≠3且x≠2.答案x≥0且x≠3且x≠2易错点求自变量的取值范围时,忽略了实际意义的限制例等腰三角形的周长为20,腰长为x,底边长为y,求y与x之间的函数解析式及自变量的取值范围.正解根据题意,得y与x之间的函数解析式为y=20-2x,自变量x应满足的条件为 解得5x10,即自变量的取值范围是5x10.0,2020,202,xxxxx错解y与x之间的函数解析式为y=20-2x,自变量x的取值范围是x0.错解警示忽略了三角形的三边关系,导致求自变量的取值范围出错.在求实际问题中函数自变量的取值范围时,注意自变量的取值既要使函数解析式有意义,又要符合实际意义.1.(2017河北唐山乐亭期中)一辆汽车以50km/h的速度行驶,行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t,其中变量是 ()A.速度与路程B.速度与时间C.路程与时间D.三者均为变量知识点一常量与变量答案C在s=50t中路程随时间的变化而变化,所以行驶时间是自变量,行驶路程是因变量,速度为50km/h,是常量.故选C.2.(2018山东潍坊诸城期末)圆锥的底面半径r=2cm,当圆锥的高h由小到大变化时,圆锥的体积V也随之发生了变化,在这个变化过程中,变量是. 圆锥的体积公式:V= πr2h 13答案V,h解析在变化过程中,底面半径r=2cm,不发生改变,是常量,体积V随高度h的变化而变化,故V,h为变量.3.下列各关系中,不是函数关系的是 ()A.y=-x(x≤0)B.y=±x(x≥0)C.y=x(x≥0)D.y=-x(x≥0)知识点二函数的概念及函数值答案BB选项中当x取一个值时,y有两个对应值,故B选项中的关系不是函数关系.4.(2018山东菏泽鄄城期中)某地海拔高度h与温度T之间的关系可用T=21-6h来表示(温度单位:℃,海拔高度单位:km),则该地区某海拔高度为2km的山顶上的温度为 ()A.15℃B.9℃C.3℃D.7℃答案B把h=2代入T=21-6h,得T=21-6×2=9.故选B.5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为,当x=时,函数值为10.答案7;2解析当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.6.(2018江苏宿迁中考)函数y= 中,自变量x的取值范围是()A.x≠0B.x1C.x1D.x≠111x知识点三自变量的取值范围答案D根据分式有意义的条件得x-1≠0,解得x≠1.故选D.7.(2018江苏徐州泉山三模)下列函数中,自变量x的取值范围是x3的是 ()A.y=x-3B.y= C.y= D.y= 13x3x13x答案DA.x的取值范围是一切实数;B.x的取值范围是x≠3;C.x的取值范围是x≥3;D.x的取值范围是x3.1.(2018贵州贵阳云岩期中)如图19-1-1-1所示,圆柱的高是3cm,当圆柱的底面半径由小到大变化时,圆柱的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化中,自变量是,因变量是;(2)当底面半径由1cm变化到10cm时,圆柱的体积增加了cm3. 图19-1-1-1答案(1)底面半径;体积(2)297π解析(1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变量是体积.(2)体积增加了(π×102-π×12)×3=297πcm3.2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y= 则当函数值y=8时,自变量x的值等于.22(2),2(2),xxxx答案4或- 6解析①当x≤2时,x2+2=8,解得x=- ;②当x2时,2x=8,解得x=4.综上,x为- 或4.663.某剧院的观众席的座位分布呈扇形,且按下列方式设置:(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化;(2)写出座位数y与排数x之间的关系式;(3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说出你的理由.排数(x)1234…座位数(y)50535659…解析(1)由题表中的数据,可知当x每增加1时,y增加3.(2)由题意可得y=50+3(x-1)=3x+47(x为正整数).(3)某一排不可能有90个座位.理由:当y=3x+47=90时,解得x= .因为x是正整数,而 不是正整数,故某一排不可能有90个座位.4334331.(2018河南郑州期末)某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据(如下表):温度(℃)-20-100102030声速(m/s)318324330336342348下列说法中错误的是 ()A.在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是声速B.温度越高,声速越快C.当空气温度为20℃时,声音5s可以传播1740mD.当温度每升高10℃,声速增加6m/s答案C易知在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是声速,∴选项A中说法正确.根据题表可得,温度越高,声速越快,∴选项B中说法正确.∵342×5=1710(m),∴当空气温度为20℃时,声音5s可以传播1710m,∴选项C中说法错误.∵324-318=6(m/s),330-324=6(m/s),336-330=6(m/s),342-336=6(m/s),348-342=6(m/s),∴当温度每升高10℃,声速增加6m/s,∴选项D中说法正确.故选C.2.如图,圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则y与n之间的函数关系式为y=. 答案4n解析对于每一个n的值,y都有唯一的值和它相对应,可以发现:每层圆点的个数是所在层数的4倍,则y与n之间的函数关系式是y=4n.3.一台式弹簧秤的弹簧原长为12cm,它能称的质量不超过20kg,并且每增加1kg弹簧就缩短 cm.(1)写出放物体后的弹簧长度y(cm)与所放物体质量x(kg)之间的函数关系式;(2)求自变量x的取值范围;(3)当放10kg重物时,求弹簧的长度;(4)当弹簧长度为4cm时,求所放物体的质量.弹簧长度能为1cm吗?12解析(1)y=12- x.(2)0≤x≤20.(3)当x=10时,y=12- ×10=7.故当放10kg重物时,弹簧的长度为7cm.(4)由12- x=4,得x=16.故当弹簧长度为4cm时,所放物体的质量为16kg.由12- x=1,得x=22,因为2220,所以弹簧长度不能为1cm.12121212一、选择题1.(2017河北沧州期末,4,★☆☆)下列关于变量x,y的关系:①y=x;②y2=x;③2x2=y.其中y是x的函数的有 ()A.3个B.2个C.1个D.0个答案B对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的函数.对于①y=x,③2x2=y,当x每取一个值时,y都有唯一确定的值与之对应.故选B.2.(2018山西晋中灵石期末,3,★☆☆)下表反映的是某地区用电量x