搜索
教学课件数学八年级下册沪科版第19章四边形19.3矩形、菱形、正方形19.3.2菱形（第1课时）基础自主学习►学习目标1能根据菱形的定义识别菱形1．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.当AB＝___________时，四边形ABCD是菱形．AD或BC[归纳](1)定义：___________________的平行四边形叫做菱形．(2)菱形是平行四边形，反过来，平行四边形_________是菱形．有一组邻边相等不一定►学习目标2能利用菱形的性质1进行简单的计算2．若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为()A．20cmB．18cmC．16cmD．12cmC[归纳]菱形的性质1：菱形的四条边__________．都相等►学习目标3能利用菱形的性质2进行简单的计算3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补4．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为________．A[归纳]菱形的性质2：菱形的对角线____________．互相垂直20重难互动探究探究问题一利用菱形的性质进行计算例1如图19－3－7所示，菱形ABCD的周长为20cm，∠DAB∶∠ABC＝1∶2，求对角线AC，BD的长．[解析]由于菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，则AO2＋DO2＝AD2.又由于∠DAB∶∠ABC＝1∶2，可得∠DAB＝60°，故BD＝AD＝5cm.利用勾股定理可求出AO＝523cm，得AC＝53cm.第1课时菱形的性质解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝12AC，DO＝12BD，AD∥BC，∴∠AOD＝90°，∠DAB＋∠ABC＝180°.又∵∠DAB∶∠ABC＝1∶2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝14×20＝5(cm)，∴DO＝12BD＝52(cm)．在Rt△AOD中，AO＝AD2－DO2＝523(cm)，∴AC＝2AO＝53(cm)．[归纳总结]1.菱形具有三个方面的性质：(1)边：四条边都相等，对边平行且相等；(2)对角线：对角线互相垂直且平分；(3)对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴．2．菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．3．菱形的面积既可用平行四边形的面积公式来求，也可以用两条对角线乘积的一半来计算．探究问题二利用菱形的性质进行证明例2如图19－3－8，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.第1课时菱形的性质[解析]根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角得∠OHB＝∠OBH.根据两直线平行，内错角相等得∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．第1课时菱形的性质证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.第1课时菱形的性质[归纳总结]1.由于菱形的性质较多，在利用菱形的性质进行计算或证明时，应全面把握和充分利用边相等和对角线垂直的性质，同时还应注意，菱形具有平行四边形的所有性质．2．菱形问题通常通过对角线转化为三角形问题来解决，菱形的性质为利用等腰三角形和直角三角形的性质解题创造了条件．课堂小结第1课时菱形的性质[反思]如图19－3－9，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF＋BF的最小值等于DE的长．[解析]要证明EF＋BF的最小值是DE的长，可以通过连接菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF＝BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题．第1课时菱形的性质证明：连接BD，DF.∵AC，BD是菱形的对角线，∴AC垂直且平分BD，∴BF＝DF，∴EF＋BF＝EF＋DF≥DE.当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立．∴EF＋BF的最小值恰好等于DE的长．第19章四边形19.3矩形、菱形、正方形19.3.2菱形（第2课时）基础自主学习►学习目标1会利用菱形的定义进行判定四边形是不是菱形1．如图19－3－67，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD[归纳]定义：有一组邻边相等的____________形是菱形．平行四边C►学习目标2会利用菱形的判定定理1判定四边形是不是菱形2．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图19－3－11所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形[归纳]判定定理1：四边都________的四边形是菱形；相等B►学习目标3利用菱形的判定定理2判定四边形是不是菱形判定定理2：对角线____________的平行四边形是菱形．互相垂直探究问题利用判定定理证明四边形是菱形例2如图19－3－12所示，已知▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O.求证：四边形AFCE为菱形．[解析]本例可利用定理1或定理2证明．重难互动探究第2课时菱形的判定证明：证法一：∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°.又∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形．又∵AC⊥EF，∴▱AFCE为菱形．证法二：∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，AF＝CF，AO＝CO，∠AOE＝∠COF.又∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AFCE为菱形．[归纳总结]1.菱形的判定定理和性质互为逆定理，不要混淆判定和性质．2．菱形的判定定理1的前提是四边形，而菱形的判定定理2的前提是平行四边形，应注意加以区分．3．菱形的判定可从边和对角线两个方面来说明：判定定理1是从边方面说明的，判定定理2是从对角线方面说明的，无论是哪种判定方法，都应符合菱形定义的要求．第2课时菱形的判定4．菱形还可以用以下方法判定：(1)两组对角分别相等，且邻边相等的四边形是菱形；(2)两组对边分别相等，且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(4)对角线互相垂直，且一组对边平行且相等的四边形是菱形．课堂小结第2课时菱形的判定[反思]怎样证明一个四边形是菱形呢？[答案](1)若已知四边形为平行四边形，只需再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．(2)若四边形为一般四边形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形；或者直接证四边都相等．